97.二项式定理及应用
一．基本原理
考点1.二项式定理
1.一般地，对于任意正整数，都有：
，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：
，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
下面给出二项式定理的证明过程，利用排列组合来证明，这个方法可以进一步推广到证明三项展开式.
考点2.二项式系数的性质
（1）每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
（2）对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
（3）二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
（4）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
（5）最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（6）求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
考点3.二项式系数和的计算与赋值
（1）若，则的展开式中各项系数的和为
当为偶数时，奇数项系数的和为，偶数项系数的和为；
当为奇数时，奇数项系数的和为，偶数项系数的和为.
（2）求形如的展开式的各项系数之和，只需令即可；求形如的展开式的各项系数之和，只需令即可
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
二．典例分析
例1．（多选题）在的展开式中,下列说法正确的是(???)
A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为
解析：根据二项式定理,的通项公式为,
对于A,常数项为,故A正确;
对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;
对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;
对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC.
题型2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式
例2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中x3y3的系数为 ()
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：展开式的通项公式为（且），所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和
，在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为，所以的系数为，故选：C
例3．的展开式中，的系数为（）
A．60 B． C．30 D．
解析：因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用，
最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为，
所以的系数为60.故选：A
例4.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
解析：由只有第5项的二项式系数最大可得：.∴通项公式，令，解得.∴展开式中含项的系数为.故答案为：.
例5．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（???????）
A．60 B．80 C．??? D．???
解析：当时，，解得，则的展开式第项，令，解得，所以，故选：B
例6．已知，则______.
解析：令，则，令，则，①
令，则，②两式相加得
所以，所以.答案为：.
例7．（2023春·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知，则的值为（????）
A．0 B． C． D．
解析：设，
则，令得：，即：，①令得：，②所以得：.故选：C.
例8.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（????）
A． B．60 C．120 D．240
解析：因为，所以，所以展开式的通项为：
，令得：，
所以展开式的常数项为，故选：B．
三．习题演练
1.已知，则（????）
A． B．
C．除以5所得的余数是1 D．
解析：选项A，因为，令，得到，所以选项A正确；
选项B，因为二项展开式的通项公式，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，所以选项B错误；
选项C，因为，
所以除以5所得的余数是1，选项C正确；
对于选项D，因为，
两边同时对求导，得到，
令，得到，所以选项D正确.
故选：ACD.
2．（多选题）在展开式中（????）
A．展开式中不存在含的项 B．展开式所有项系数和为243
C．展开式中含项的系数为30 D．展开式共21项
解析：表示个相乘，含的项是在个中选个，个，所以展开式中含的项的系数为，故A错误；
令，则展开式所有项系数和为，故B正确；
含项是在个中选个，个，个，所以展开式中含的项的系数为，故C正确；的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，
若只选一个字母则有种，若选个字母则有种，若选