74.新型对折问题中的六种常见类型
一．基本原理
1.二面角的定义：
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面；直线叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面．记法：.
（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，如图所示，以点为垂足，
在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角．
2.三余弦定理：如图所示，斜线在平面内的射影为，则线面角的大小为，平面内任一点，则，这样就有：.
1.常见函数图像对折过程中的空间角
2.椭圆对折过程中的空间角
3.双曲线对折过程中的空间角
4.抛物线对折过程中的空间角
5.空间几何体的截面或者空间角度融合平面问题
6.三余弦定理在对折中的应用
二．典例分析
★1.常见函数图像对折过程中的空间角
例1．如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（???）
??
A． B． C． D．
解析：过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，连接，则，由余弦定理得，由上可知，轴垂直于，又平面，所以轴垂直于平面，又轴，所以平面，因为平面，所以，因为的周期，所以，由勾股定理得，解得，由图知，的图象过点，且在递减区间内，所以，即，因为，点在递减区间内，所以.故选：C
例2．（多选题）已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（????）
A．
B．
C．将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象
D．函数的单调递减区间为
解析：如图，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
由题意可知平面平面，平面平面，又平面，则平面，平面，则，则，，由，则的周期，
A项，由图象可知，所以
，由，解得；
B项，由A项可知，，则，
因为图象经过点，即，，
，或，由函数图象可知，
则，所以，故B正确；
C项，由AB可知，，
，即将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象，，故C错误；
D项，，由，解得，故函数的单调递减区间为，故D错误.故选：AB.
★2.椭圆对折过程中的空间角
例3．已知椭圆C的离心率为，为C的右焦点，过的直线l交椭圆于A，B两点，且A在x轴上方，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若l⊥x轴，求线段AB的长；
(3)若将坐标平面沿x轴折成一个直二面角，求面积的最大值.
解析：（1）由题意得，，故，所以，故椭圆方程为；
（2）若l⊥x轴，中，令得，故；
（3）当直线l的斜率为0时，点在轴上，不合要求，设直线，
联立得，设，故，恒成立，
，
，
，故，
故，
故，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为.
★3.双曲线对折过程中的空间角
例4．点，是双曲线的左、右焦点，过点作直线交双曲线C于A，B两点，现将双曲线所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图.翻折后A，B两点的对应点分别为，，，若，则双曲线C的离心率为.
解析：设，，，∵，，
∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去）.故答案为：3
例5.已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足.现将沿折成直二面角，若使折叠后点，距离最小，则（????）
A． B． C． D．
解析：由双曲线方程知，，，，设，则，，又，则，解得或-3（舍），设折叠后点达到F点，如图所示，作于A点，易知平面，，，设，
??
则，在中，，，在中，由余弦定理知，
，则，当且仅当，即时，等号成立，折叠后点，距离最小.此时为的角平分线，由角平分线定理知，，则，，故选：C
★4.抛物线对折过程中的空间角
例6．如图，画在纸面上的抛物线过焦点F的弦长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60度的二面角后，空间中线段的长为（????）
A． B． C． D．
解析：，设直线为，Ax1,y1,Bx2,y2，联立与可得
故，解得，故，解得，故，如图，建立空间直角坐标系，过作平面于，过作于，连接，由于轴，且轴，，故轴平面，平面，故轴，则由于在直角坐标系中，故，因此在直角三角形中，，因此在空间直角坐标系中，，故，故选：B
★5.空间几何体的截面或者空间角度融合平面问题
例7．在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.
（1）求直线CD与平面所成角的大小；
（2）设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，