8.三次函数的图像与性质及应用
三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数，因为其导函数二次函数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其导函数二次函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质.通过对三次函数的系统研究，能够增强学生对导数的应用价值的认识和理解.正因如此，三次函数在高考中自然也是热门的考察方向，特别是在24年连续出现在两套新高考试题中后，再一次引起了研究热潮.本节试图从三次函数的基本性质出发，展示其重要的一些应用手法.
基本命题原理
对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下：
1.根的个数（）.
对于三次函数，其导函数为二次函数:
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1）若，则恰有一个实根；
（2）若,且，则恰有一个实根；
（3）若,且，则有两个不相等的实根；
（4）若,且，则有三个不相等的实根.
注：由图像可知：①含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，
即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且
）.
②有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以，且.
③有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故且.
2.极值情况：
三次函数（）,导函数为二次函数
，
二次函数的判别式化简为：△=，
（1）若，则在上为增函数；
（2）若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明：,△=，
（1）当即时，在R上恒成立，即在为
增函数.
（2）当即时，解方程，得
由得或，在和上为增函数.由得
，在上为减函数.
总结以上得到结论:三次函数（）
（1）若，则在上无极值；
（2）若，则在上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
3.对称中心
三次函数的对称中心为点，该点是三
次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.
4.三次方程根与系数得关系
（1）已知实系数多项式有三个根,设为
（2）由三次方程根与系数的关系：
二．典例应用
★1.小题训练（主要围绕性质，多记多便利）
例1．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）关于函数，下列说法正确的是（????）
①曲线在点处的切线方程为；
②的图象关于原点对称；
③若有三个不同零点，则实数的范围是；
④在上单调递减.
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
解析：函数，求导得，
对于①，，而，则切线方程为，即，①正确；
对于②，，则的图象关于原点不对称，②错误；
对于③，当或时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，
函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标，
因此当直线与函数图象有3个交点时，，③正确；
对于④，在上单调递减，④正确，故选：D
以下选择题均为多选题.
例2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（????）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
解析：A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；
不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD
例3．（24-25高三上广东省开学考试）设函数，则（????）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
解析：对于A，当时，，求导得，
令得或，由，得或，由，
得，于是在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；
对于B，，当时，，即恒成立，函数在R上单调递增，无极值点，B正确；
对于C，要使在R上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为R，C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD
例4．（24-25高三上海南省开学考试）已知函数，则（????）
A．是函数的极小值点
B．存在3个不同的值，使得函数有2个零点
C．有且仅有一个值，使得曲线有对称轴
D．存在无数多个值，使得曲线有对称中心
解析：由题意可知：函数的定义域为R，且，
对于选项A：例如，则，令，解得或；令，解得；可知在0,1内单调递减，在内单调递增，
可知是函数的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为，可知0不为的零点，令，