5.解决抽象函数的七大视角
1.抽象函数的单调性与奇偶性
2.抽象函数的对称性与周期性
3.赋值法解决抽象函数问题
4.图像法解决抽象函数问题
5.求导公式（积分法）还原抽象函数
6.抽象函数还原具体模型
7.抽象函数求解析式
1.抽象函数的单调性与奇偶性
下面的例子将分析抽象函数模型的单调性与奇偶性，其所使用的方法就是赋值法，这是处理函数方程问题中最常见的手法.
例1.定义在R上的单调函数满足对任意x,y均有,试判断的奇偶性.
解：，故令，有
又令，为奇函数.
例2．已知函数对任意，总有，且对，都有.
判断并用定义证明函数的单调性.
解析：函数是上的减函数，证明如下：
由题意，令，有，解得，任取，不妨设，
则，
因为，则，所以，即，所以函数是上的减函数.
例3.设是定义在的函数，并且满足，且当时，．判断的单调性并证明.
解析：，故令，有
又令，.
令，故，，为单调减函数.
例4.设函数的定义域是R，对任意恒有，且当时，．
（1）求证：，且当时，；
（2）判断在R上的单调性.
解：（1），故令，有或者，当时，，这与当时，矛盾，故只有；
又令，当时，，故当时，，,对时恒成立.
（2）令，，为单
调减函数.
2.抽象函数的单调性与奇偶性
函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况.函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.
性质1.轴对称:函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时.我们就称函数关于对称.
代数表示:(1).
(2).
即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.
一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.
特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.
性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1).
(2).
一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.
特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.
性质3.函数周期性有关结论:
设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，
则函数是周期函数，且是它的一个周期.
(1).(2).
(3).(4).
3.函数的对称性与周期性
性质4已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.
性质5.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.
性质6.若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质7.若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.
性质8.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质9.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质10.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.
性质11.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质12.周期性的应用:
(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到
整个函数的性质.
(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
(3).单调性：
由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).
二．典例分析
例5．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（???）
A． B． C． D．
解析：因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.
例6．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（??）
A． B． C． D．
解析：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．
3.赋值法解决抽象函数问题
例7．已知函数的定义域为，，则（????）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
解析：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
例8．（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直