4.函数的周期性的七大应用
抽象函数由于能够更加直接的刻画很多函数共同的性质，当然颇受命题人的喜爱.命制抽象函数试题的基本原理就是函数的性质：单调性，奇偶性与对称性，周期性.所以在我们试图解决抽象函数问题时，其基本要求便是熟练的掌握相关结论，其实你会发现，这些东西就已经足够解决多数问题了.
相关结论在人教A版必修第一册87页，苏教版必修第一册119页均有涉及，读者可自行查阅，这里重点给出它们的后续应用.
应用1.直接由结论应用周期性
应用2.应用周期性求解析式
应用3.单个函数的周期性迭代
应用4.两个函数的周期性迭代
应用5.类周期函数
应用6.一类特殊的周期函数
应用7.周期性与零点问题
一．函数的周期性
1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
性质1.函数周期性有关结论:
设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，
则函数是周期函数，且是它的一个周期.
(1).(2).
(3).(4).
二.函数的对称性与周期性综合
性质2.若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质3.若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.
性质4.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质5.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质6.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.
性质7.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质8.周期性的应用:
(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到
整个函数的性质.
(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
(3).单调性：
由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).
二．典例分析
★应用1.直接由结论应用周期性
这里的结论主要指本文所罗列的性质1到性质7，最好能记住.
例1．已知是定义在上的奇函数，满足且，则（????）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
解析：由，可知周期为4，又是定义在上的奇函数，
所以.故选：D.
例2．已知定义在上的奇函数满足，则（????）
A．0 B． C．253 D．506
解析：因为函数为上的奇函数，所以，又，则，所以，所以函数是周期为8的周期函数，又，则，
所以，所以.故选：A.
例3．已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（???）
A． B．0 C．1 D．2
解析：因为在R上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，
所以.
故选：D.
例4．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（????）
A． B．0 C． D．
解析：因为是定义在上的偶函数，，可得，即，所以函数是以4为周期的周期函数，
可得，又因为当时，，可得，所以.
故选：C.
★应用2.应用周期性求解析式
例5．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（????）
A． B．
C． D．
解析：因为是定义在上的奇函数，为偶函数，所以，，即，所以，
所以，可得，所以的最小正周期为，
又当时，，当时，则，所以，又由是周期为的奇函数，
则，故，.
故选：D．
例6．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（????）
A． B．
C． D．
解析：因为函数是周期为4的周期函数，所以时，，所以，即，故选：C
例7．已知，，，…，，则（????）
A． B． C． D．3
解析：由，知，，．则为迭代周期函数，故，则，所以．故选：A．
★应用3.单个函数的周期性迭代
这种问题主要是指一个函数利用题干所给的恒等关系迭代出周期性，其核心在于理解周期性的定义.
例8．定义在上的函数满足，，若，则（????）
A． B． C． D．
解析：因为，，所以，即，所以的周期为，且，可得，再由可得，，，，又，所以，所以为奇函数，所以，因为，所以，，，所以
.
例9.定义在R上的函数满足，，若，则__________，__________．
解析：因为，所以，
所以，则，所以是以为周期的周期函数，
所以，又，所以，又，所以，即且，
由，所以，，，
所以
.
★应用4.两个函数的周期性