3.奇偶性与对称性及应用
一．基本原理
1.奇偶性的定义：需要熟练掌握
2.奇偶性的判定：
①.定义法
②.性质法：奇×奇为偶；奇×偶为奇；等等，类似进行加减乘除运算即可.
③.一个特殊的性质：
已知函数的定义域为.
（1）求证：函数为上的偶函数；
（2）求证：函数为上的奇函数；
（3）试判断：定义在上的函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
解析：（1）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的偶函数；
（2）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的奇函数；
（3）因为函数的定义域为.令，，则，又由（1）得为上的偶函数，由（2）得为上的奇函数，且，所以定义在上的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
由证明可知，上述结论函数的定义域可以是任意对称区间.
比如.都是奇函数.
证明：令，
，由基本原理（2）可证.
类似，还可以判断下列函数的奇偶性
②.是奇函数.
③.(且)是偶函数.
对数型奇偶性证明通常需从或来完成.
（4）与指数有关的复合函数：假设且.
①.为奇函数
②.为奇函数
③.可转化为②或③
4.奇偶性与对称性
（1）.轴对称:函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时.我们就称函数关于对称.
代数表示:(1).(2).
（2）.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1).(2).
（3）.已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.
（4）.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.
5.奇偶性（对称性）与导函数
若，即轴对称函数的导函数为中心对称函数，反之亦然，若
6.奇偶性的应用类型
（1）.奇偶性加单调性解不等式
（2）.利用奇偶性求解析式
（3）.常见奇函数与奇偶性的运算性质
（4）.奇函数中一个重要的结论
（5）.奇偶性与单调性综合
（6）.从奇偶性到对称性（对称性的判别）
（7）.对称性的综合应用
（8）.基于奇偶（对称性）的凸凹反转
二．真题速递
1．（2023·全国·高考真题乙卷）已知是偶函数，则（????）
A． B． C．1 D．2
解析：因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.
故选：D.
2．（2023·全国·高考真题新高考2卷）若为偶函数，则（????）．
A． B．0 C． D．1
解析：因为为偶函数，则，解得，
当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.故选：B.
3．（2023·全国·高考真题甲卷）若为偶函数，则______.
解析：因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，此时，
所以，又定义域为，故为偶函数，
所以.故答案为：2.
4．（2021年新高考1卷）已知函数是偶函数，则_________.
解析：因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：1
5．（2021年全国乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是（????）
A． B． C． D．
解析：由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
6.（25届高三八省联考）已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和C交于M、N两点，和C交于P、Q两点，若三角形的面积为，则三角形的面积为____________．
解析：由于和都符合，所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增，由此画出曲线的大致图象如下图所示，
两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，
根据对称性，不妨设位置如图，可知，，
所以，所以，而和等底等高，面积相同，所以，所以.故答案为：
7.（2024年新课标全国2卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（????）
A． B． C．1 D．2
分析：图像交点问题常转化成两个函数解析式组成的方程组的公共解，倘若能够观察到与表达式中有一个公共项，此题函数很容易突破的！
解析：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，
则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.
8．（2024年高考全国甲卷数学（理））函数在区间的大致图像为（????）
A． B．
C． D．
解析：