2.函数的单调性与应用
一．真题汇编
1．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（????）
A． B． C． D．
解析：因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即的范围是.故选：B.
2．（2023·全国·高考真题新高考1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）
A． B．C． D．
解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D
3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（????）．
A． B．e C． D．
解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即的最小值为．故选：C．
4．（2023·全国·高考真题乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.（凌晨讲数学，更多优质资料，请前往公众号下载）
解析：由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.
5．（2020年新高考2卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
解析：由得或，所以f(x)的定义域为
因为在上单调递增，所以在上单调递增
所以，故选：D
6．（2020年新高考1卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在(0,+∞)上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或，解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.
7．（2020年全国2卷）设函数，则f(x)（????）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.
8．（2020年全国1卷）若，则（????）
A． B． C． D．
解析：设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
9．（2020年全国2卷）若，则（????）
A． B． C． D．
解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
10．(2019年全国3卷)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则()
A． B．
C． D．
解析：是上的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．
11．（2018·全国·高考真题）若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
解析：因为，所以由得，因此，从而的最大值为，故选：A.
11．(2017年高考数学新课标1卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若
,则满足的的取值范围是 ()
A． B． C． D．
解析：因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
12．（2017年全国2卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
解析：是奇函数，故；又是减函数，，
即则有，解得，故选D.
13．（2015年全国1卷）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B．(?1,0)∪(1,+∞)
C． D．
解析：构造新函数,，当时.所以在0,+∞上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
14．（2017年全国3卷）设函数则满足的x的取值范围是_________.
解析：由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
15．（2014年全国2卷）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_________.
解析：因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.
二．考点汇编
1.判断给定函数的单调性
2.利用单调性（结合奇偶性）解不等式
3.已知单调性求参数
4.利用单调性之间比较多元变量之间的大小
1.复合函数单调性问题
例