第三讲泛函极值的充分条件与必要条件
泛函极值的充分条件与必要条件的总体概念
泛函极值的充分条件与必要条件是变分学中的核心概念，它们用于判断一个给定的函数是否是某个泛函的极值函数。以下是关于泛函极值充分条件与必要条件的详细解释：
必要条件：
一阶必要条件：泛函在极值点处的一阶变分为零。这对应于欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange）方程的满足。即，如果一个函数y(x)是泛函J[y(x)]的极值函数，那么y(x)必须满足欧拉-拉格朗日方程。
二阶必要条件（勒让德条件）：对于极小值点，二阶变分必须非负；对于极大值点，二阶变分的符号相反。具体来说，如果y(x)是泛函J[y(x)]的极小值函数，那么对于所有容许的扰动η(x)，二阶变分δ2J[y(x);η(x)]必须非负。这可以通过检查勒让德条件L_yy(x,y(x),y(x))≥0（对于极小值）或L_yy(x,y(x),y(x))≤0（对于极大值）是否成立来判断。其中，L是泛函的拉格朗日函数。
充分条件：
对于泛函极值的充分条件，情况更为复杂，因为它不仅涉及一阶和二阶变分的性质，还可能依赖于泛函的具体形式和边界条件。然而，在某些特定情况下，可以给出一些充分条件。例如，如果勒让德条件成立，并且存在一个使得二阶变分严格大于零（对于极小值）或严格小于零（对于极大值）的扰动η(x)，那么可以认为该函数是泛函的严格极值函数。
此外，还有一些更复杂的充分条件，如Legendre-Hadamard条件等，它们涉及更高阶的变分和更复杂的数学结构。这些条件通常用于更精细地分析泛函极值问题的解。
需要注意的是，充分条件和必要条件在泛函极值问题中起着不同的作用。必要条件是任何极值函数都必须满足的条件，而充分条件则是用来证明一个给定函数是极值函数的条件。在实际应用中，通常需要结合具体问题的背景和条件来选择适当的充分条件进行证明。
3.1函数极值的再回顾
设f∈C2Ω,
问：x0成为f
因为?x0的一个邻域
f
所以?ε00，使得当0ε
f
这表明一元函数ε→
d
这就是
d
令?i到?
d
是非负定的。
反过来，如果d2fx0是正定的，那么
3.2二阶变分
现在回到泛函极小值问题，我们知道E-L方程是一阶变分的条件，它只是极小的一个必要条件，并非充要条件，从泛函分析和微分拓扑角度看，满足E-L方程的解u0
设L∈
I
又设u0∈M
E
现在?φ∈
g
那么一元函数s→gs
δ
=
=
=
称为I在u0沿φ
一方面，由于
g
如果u0是极小点，那么必然有g
其中θ∈0,1依赖于s，s趋近于0，则
于是
δ
另一方面，u0∈若u0∈
δ
则u0是I的严格极小点。（指的是u要求满足φ自身小，导数小的这类函数严格极小点指的是弱严格极小。对更一般的函数只要求δ2I
为什么δ
我们引入下列函数矩阵
A=
B=
C=
以及它们沿函数u0
A
B
C
我们有
δ
因为
g
而且L∈C2，所以对于φC
A
即得
g
从而?φ∈C01
I
即δ
固然3.1和3.2分别是泛函取极小值的必要条件与充分条件，但因其中还带有任意函数φ
3.3Legendre-Hadamard条件
首先我们注意，三个矩阵A0，B
事实上，?τ∈intJ，?ξ∈?N，?μ0充分小，取
φ
则
φ
当?μ
J
J
J
代入3.1，令
δ
现在我们引入下列Legendre-Hadamard条件
A
如果?
i,j=1
如果我们令ξ1=ξ2
A
以及
i,j=1
我们可以把Legendre-Hadamard条件再放宽
J
严格的Legendre-Hadamard条件再放宽
J
那么我们称其为严格的Legendre-Hadamard条件
定理3.1设L∈C2J×?N×?N，若u0∈M是I的一个极小点，则Legendre-Hadamard条件3
我们说过条件3.2中含有任意的函数φ，有必要把它换成一个不含φ的条件，为此我们要建立它与严格Legendre-Hadamard条件3
事实上，充分条件3.2右边积分中的项
引理3.1（Poincar?)设φ∈
J
证明因为
φ
由Schwarz不等式
φ
积分后
J
现在我们如果把3.2右端积分中的
δ
那么定理3.1依然成立。
例3.1设L=1+P
我们知道泛函Iu
d
有解u=0∈M
因为
L
所以
δ
利用定理3.1我们知道：u=0是个极小点。
一方面从二阶变分的表达式我们看出如果矩阵是正定的也推不出方程的解u0
A
首先它就不满足Auo正定