105.概率压轴的常见的新情境汇编
★类型1.概率递推与马尔科夫链
一．真题回溯
1．（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
解析：（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，.
（2）设，依题可知，，则
，
即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．
（3）因为，，所以当时，，故．
二．热门模考题展示
2.（24届东北三省四市联考T19）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食，东北人的热情，还有东北的洗浴中心，南方游客直接拉着行李箱进入，拥挤程度堪比春运．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在平台10天销售优惠券情况．（公众号：凌晨讲数学）
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）
1.90
1.98
2.20
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.70
0.40
经计算可得：．
（1）因为优惠券购买火爆，平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程；（结果中的数值用分数表示）
（2）若购买优惠券的顾客中选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且选择A套餐需要用一张优惠券，选择B套餐需要用两张优惠券，记平台累计销售优惠券为n张的概率为,求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列．
①求数列的最值；
②数列收敛的定义：已知数列,若对于任意给定的正数ε，总存在正整数,使得当时，,（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．参考公式：．
解析：（1）剔除第10天数据的；
所以，故，所以.
（2）由题意可知，其中，
将此式变形可得，
令，解得或.
当时,则，所以为常数列
首项为，故，将变形可得，所以是以首项为，公
比为的等比数列，故，即
（3）①当n为偶数时，单调递减，最大值为；
当n为奇数时，单调递增，最小值为；
综上：数列的最大值为，最小值为.
②证明：对任意总存在正整数，（其中表示取整函数）
当时，.
3.（24届深圳中学高三二检）某不透明箱子中有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和3个黄球.
（1）若把所有小球拿出来按顺序排成一排，求所有不同排列方法的种数；
（2）若采取不放回的方式每次从箱子中随机取走一个球,直至取到红球为止，在这过程中记取到的白球数为，求的分布列；（公众号：凌晨讲数学）
（3）若一开始先把箱子里的黄球全部取出来,然后按以下规则每次取一个球；若取到红球,则把红球拿走并重新放入一个白球；若取到白球，则把白球拿走并重新放入一个红球.重复这个操作次后；记箱子里红球个数为，求的数学期望.
解析：（1）8个位置选3个位置放红球共种选法,剩余5个位置选3个位置放黄球共种选法.剩余2个位置放白球因此,共有种排列方式
的可能取值为，时，相当于8个小球按顺序排成排,红球前面没有白球的概率2个白球，3个红球和3个黄球排成一排共有种排列方式，红球前面没有白球共有种排列方式因此，同理
所以的分布列为
0
1
2
（3）设的分布列为
0
1
2
3
4
5
则且
，同理
，由题意得，
，
★类型2.极大似然估计
一．基本原理
（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题.
.
分析：当时，，随值的增加而增加；当时，
，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.
注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.
（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，
这可以用导数求函数最值与最值点.
分析：
当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.
3.2超几何分布的概率最值
将从件产品中取出件产品的可能组合全体作为样本点，总数为.其中，次品出现次的可能为.令，则所求概率为
即.令则当时，；当时，，即当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数.所以当时，达到最大值.
二．热门试题展示
4.（24