100.全概率公式及应用
一．基本原理
1.全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有.
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．显然，应用全概率公式的关键就是将找到完备事件组，下面我们介绍一些常见的类型.
2.样本空间的常见分类方法（构造完备事件组）
①.对于具有多个步骤或阶段的试验，可按照每个步骤或阶段的不同结果来划分样本空间
②.当试验涉及到具有不同属性或特征的事件时，可根据这些属性或特征进行划分
③.如果事件的发生是由不同原因或在不同条件下导致的，那么可以据此划分样本空间
...
下面我们通过具体的例子来分析.
二．典例分析
★对于具有多个步骤或阶段的试验，可按照每个步骤或阶段的不同结果来划分样本空间
例1．（四川成都市2025届高三二模）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立.
（1）求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
（2）记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，
（i）求；
（ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列.
解析：（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”，
依题意，，，
因此，
所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为.
（2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立，
由（1）知，，
当时，挑战显然不会终止，即，
当时，则第1、2轮至少答对一轮，，
由概率加法公式得；
同理.
（ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”，
当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：
①第轮答对，且第轮结束时挑战未终止；
②第轮答错，且第轮答对，且第轮结束时挑战未终止，
因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为，
则，而各轮答题正确与否相互独立，
因此，
当时，，设存在实数，使得数列为等比数列，
当时，，整理得，
而，则，解得或，
当时，
因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列；
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以存在实数或，使得数列为等比数列.
★2.当试验涉及到具有不同属性或特征的事件时，可根据这些属性或特征进行划分例1．某例2.（深圳市2024届高三模考）企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．
（1）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
（2）若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
解析：（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，所以X的数学期望．
（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．由（1）知，，．
∵，由全概率公式，则，解得，故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．
★3.如果事件的发生是由不同原因或在不同条件下导致的，那么可以据此划分样本空间
设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者
（）向左或者向右平移一个单位.若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.上述便是一个典型的马尔科夫过程.
例3．（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如