71.新概念背景下的立体几何压轴
一．常用背景与命题方式
1.空间解析几何
2.曲率
3.平面翻折与圆锥曲线综合
4.丹德林双球
5.其他新定义
二．典例展示
例1．（2021年教育部八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
??
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．
解析：（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
??
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.
所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，
则其总曲率为：.
（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有，设第个面的棱数为，所以，所以总曲率为：
，所以这类多面体的总曲率是常数.
例2．（长沙雅礼中学25届高三第二次联考）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率与球面三角形内角和满足：，其中为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于，为球面三角形面积，为球的半径）.
(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为，求此球面三角形内角和；
(2)求的值；
(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体顶点数为，棱数为，面数为，试证明凸多面体欧拉示性数为定值，并求出.
解析：（1）如图，设球心为，球面三角形三个顶点分别为，由球面三角形三边长均为，由题意，即每个大圆弧长均为.又单位球面的球半径，则球面三角形每条边所对圆心角为，所以在三棱锥中，两两垂直.由，，且平面，平面，
则平面，平面，故平面平面，同理平面平面，平面平面，即球面三角形任意两条边所在的半平面构成的二面角均为，
故球面三角形的个角均为，从而此球面三角形内角和为.
（2）若将地球看作一个球体，在地球上零度经线和经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成个全等的球面三角形，由（1）可知，每个球面三角形的个角均为，且球面三角形内角和，从而每个球面三角形的面积为，则每个球面三角形的总曲率为，设，由题意，且为常数，则有，从而.
（3）将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮膜，使膨胀为一个半径为的球，每个顶点均在球面上，每条边变为球面上的边，每个多边形变为球面上的多边形，且膨胀前后不变.不妨记球面仍为单位球面，半径，对于任意一个球面边形，可用球面上的边分割成个球面三角形，由（2）可知，，则每个球面三角形的内角和．即每个内角和为的球面三角形面积为，记，称为分割成个球面三角形的球面边形的内角和．所以球面边形面积为.
由已知凸多面体顶点数为，棱数为，面数为，则可记球面上多边形，
对每一个球面多边形，设其边数为，内角和为，面积为，则，由球面三角形角的定义可知，每个顶点处所有球面多边形的角之和为，顶点数为，从而所有球面多边形内角和为，又球面多边形每条边被重复计算次，棱数为，故，则，又所有球面多边形面积之和，
故，故.
例3.（山东济南24届高三一模）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
(1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
解析：（1）集合表示平面上所有的点，
表示这八个顶点形成的正方体内所有的点，而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点.发现它是边长为2的正方形，因此.对于，当时，表示经