55.棱台及应用
一．基本原理
1.斜高：\t/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank空间几何体的顶点到其\t/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank底边的\t/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank距离，即为斜高。就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离，就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离.
2.\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank正棱台的性质：
（1）正棱台的\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank侧棱相等，侧面是\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank全等的\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank斜高；
（2）正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank正多边形；
（3）正棱台的两底面中心连线、相应的\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank边心距和斜高组成一个\t/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，分别为上，下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1．
②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1．
（4）棱台各棱的反向延长线交于一点，故可以通过补成棱锥来处理.
二．典例分析
★1．考察棱台的基本公式
例1．（2021年新高考2卷）正四棱台的上?下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（???）
A． B． C． D．
解析：因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.
例2.（2022新高考1卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（????）
A． B． C． D．
例3．（2023年新高考2卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_________.
解析：方法1：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法2：棱台的体积为.故答案为：.
例4．（2023年新高考1卷）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________.
解析：如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，
??
因为，，
故，则，
所以所求体积为.故答案为：.
★2．考察棱台的外接球
例5．（2022年全国新高考2卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（???????）
A． B． C． D．
解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．
★3.以棱台为模型考察空间角
例6．（2024年新高考2卷）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（????）
A． B．1 C．2 D．3
解析：解法1：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，
则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，（凌晨讲数学）
则，，可得，结合等腰梯形可得,
即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法2：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，
可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.
三．习题演练
未来还会怎么考？内切球，二面角？都有可能！还有可能不考了...
1．已知正三棱台的上?下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（）
A． B． C． D．
解析：设分别