62.二面角的计算八种常见方法及应用
本节介绍二面角的计算及应用，首先介绍二面角计算的几何方法，其次介绍课本上两个二面角计算模型，最后再介绍向量法计算二面角，最终形成一个完整的理论体系.
一．基本原理
★1.定义法
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面；直线叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面．记法：.
（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，如图所示，以点为垂足，
在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角．
★2.垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。
如图，过二面角内一点作于，作于，面ABC交棱于点，则就是二面角的平面角。
★3.三垂线法
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面内选一点向另一个平面作垂线，垂足为，再过点向棱作垂线，垂足为，连接，则就是二面角的平面角。
★4.射影面积法
（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，
平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便.
★5.“模型法”
如下图，所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
如图，设、为面与面的外接圆圆心，其半径分别为、，两相交面的二面角记为，公共弦为的弦长为，四面体球的半径.
两圆、的弦心距:；
两圆、的圆心距:，由于四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径，而，则由正弦定理：，于是外接球的半径可得，进一步整理：
①
特别地，当时，代入可得：
②
★6.向量法
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则.
★7.三面角定理
由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则.
证明：如图，，，在上取一点，过在平面内作，交于，过在平面内作，交于，连接，
则是二面角的平面角，即.设，在直角三角形中，
，在直角三角形中，，
，在中，，
在中，，即为
，
所以.
★8.水坝模型
如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.从到直线（库底与水坝的交钱）的距离和分别为和,的长为，的长为，则库底与水坝所成二面角的余弦值为：
二．典例分析
1.定义法
例1（2024年新高考1卷）．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
解析：（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，
因为平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
2.三垂线法
例2.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面．．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
解析：（1）平面，平面．．
又，．，，
，即．又．平面．
（2）过作，垂足为，连接．平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，为二面角的平面角．
又，，
，又，，．
AEDPCB
A
E
D
P
C
B
F
在中，，．
二面角的大小为．
3.垂面法
例3．已知二面角等于，二面角内一点满足，，，，．，．则点到棱的距离为．
解析：如图所示，与确定平面，与交于点，则，，
即为二面角的平面角，，从而，又，．
．
，则点到棱的距离是．故答案为：．
例3图例4图
4射影法
例4.如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，面，.求面与面所成的二面角的大小。
解析：面，面，.又四边形是正方形，.而，面.又，面.
在面的射影是，设它们的面积分别为和，所成的二面角为.
.故.
所以面与面所成的二面角的大小为.
5.模型法
例5．在边长为的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使折起后，则二面角的余弦值为
A． B． C． D．
解析：取中点，连接，，则，；
便是二面角