2024-2025学年福建省南平市高一数学下学期期末考试（含答案）
（考试时间：120分钟满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，班级和座号，考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题部分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数，则z在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为，其中，，，则中，（）
A.2 B. C. D.4
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（）
A.A与C对立 B.B与C不互斥 C.A与B对立 D.B与C对立
4.已知向量，，若，则（）
A. B.1 C. D.2
5.已知，为两个不重合的平面，l，m为两条不同的直线，（）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
6.在中，，点E是线段AD的中点，则（）
A. B. C. D.
7.如图，在某座山的山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡从A向上走了600米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高（）
A300米 B.米 C.米 D.米
8.在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O体积为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则（）
A.频率分布直方图中a的值为0.08 B.这100名学生中体重不低于55kg的人数为60
C.这100名学生体重的第80百分位数为65 D.这100名学生体重的众数小于平均数
10.已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，（）
A若，则
B.若是边长为2的正三角形，则
C.若，则是等腰三角形
D.若，的中线长为1，则的最大值为
11.如图，圆锥顶点为S，底面圆心为O，AB为底面直径，，，N是底面圆周上一点，，M是线段SA上的动点，则（）
A.圆锥SO的体积为
B.当M是SA的中点时，线段MN在圆锥底面上的射影长为
C.存在点M，使得
D.直线MN与平面SAB所成角的正切值的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题部分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，，则在的投影向量的坐标是______．
13.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．
14.如图，在棱长为6的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则过M，N，B三点的平面截此正方体所得截面的周长是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知复数（，），纯虚数，且．
（1）求复数z；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值．
16.现有3个北方城市，，和3个南方城市，，，旅游爱好者甲计划从中任选2个城市旅游．
（1）求甲选择的2个城市均是北方城市的概率；
（2）若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率．
17.已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，且的面积为，求的周长．
18.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将沿DE折起，得到四棱锥．
（1）证明：平面ADE；
（2）当为等边三角形时，证明：平面平面BCDE；
（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值．
19.某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高