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安徽省安庆市第一中学2024-2025学年高三下学期3月检测数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.设命题,,则为(???)
A., B.,
C., D.,
2.复数为纯虚数的充分不必要条件是(????)
A.0 B.
C.或 D.或
3.已知向量,,若与的夹角为,则
A. B. C. D.
4.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设三个内角所对的边分别为,面积为,则“三斜求积”公式为.若,且则利用“三斜求积”公式可得的面积
A. B. C. D.
5.若,则(????)
A. B. C. D.
6.射线测厚技术原理公式为,其中分别为射线穿过被测物前后的强度,是自然对数的底数,为被测物厚度,为被测物的密度,是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为(????)
(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,,结果精确到0.001)
A.0.110 B.0.112 C. D.
7.已知双曲线的一条渐近线方程为,是上关于原点对称的两点,是上异于的动点,直线的斜率分别为,若,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
8.在三棱锥中,底面,,是线段上一点,且.三棱锥的各个顶点都在球表面上,过点作球的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为,则球的表面积为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.中,所有内角都不是钝角,其中正确的命题是(????)
A.; B.;
C.; D..
10.已知是定义在上的奇函数,.若,则
A.是周期函数
B.当为偶数时,
C.
D.
11.如图,一个水轮的半径为,水轮轴心距离水面的高度为,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动圈,当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时,记为点距离水面的高度关于时间的函数,则下列结论正确的是(????)
A.
B.
C.若,则
D.不论为何值,是定值
三、填空题
12.若x2020=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a2020(x﹣1)2020,则.
13.若正实数满足,则的最小值为.
14.形如的数阵称为阶矩阵,有(无穷大)个数以一定的规则排列,构成如下阶矩阵:此表中,主对角线上的数依次为,则主对角线上的第101个数为,数字2013在此表中共出现次.
四、解答题
15.如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
??
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.
16.已知椭圆C:()的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)我们称圆心在椭圆上运动,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线,分别交椭圆C于A、B两点,若直线、的斜率为、,当时,求此时“卫星圆”的个数.
17.对于给定的正整数,如果各项均为正数的数列满足:对任意正整数,
总成立,那么称是“数列”.????(1)若是各项均为正数的等比数列,判断是否为“数列”,并说明理由;
????(2)若既是“数列”,又是“数列”,求证:是等比数列.
18.已知函数
(1)求证:函数有且只有两个零点;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称.证明:当时,;
(3)如果一条平行轴的直线与函数的图象相交于不同的两点和,试判断线段的中点是否属于集合,并说明理由.
19.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
如图所示的小木块中,上面7层为高尔顿板,最下面一层为改造的高尔顿板,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过7次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2…,6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处,再以的概率向右滚下,或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处,再以的概率向左滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验