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福建省龙岩第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（????）
A． B．
C． D．
2．已知平面向量，且，则（????）
A． B． C． D．3
3．在中，，则（????）
A．或 B． C．或 D．或
4．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10km，若甲船以4km/h的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（????）
A．h B．h
C．h D．h
5．如图，在中，设，则（????）
A． B． C． D．
6．已知非零向量满足，且，则是（????）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形
7．点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为（???）
A． B． C． D．
8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．已知为坐标原点，点，，，，则（????）
A． B．
C． D．
10．已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（????）
A．若，则点是的重心
B．若点是的外心，则
C．若，则点是的垂心
D．若点是的垂心，则
11．在中，，（为常数），的最大值为12，则（????）
A．为锐角 B．面积的最大值为8
C． D．周长的最大值为
三、填空题
12．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为．
13．正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为.
14．英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，
其中，
（1）.
（2）已知在中，，边，则面积的最大值为.
（以上两空均用小数作答，且精确到0.001）
四、解答题
15．已知向量，．
(1)当，求的值；
(2)当取得最大值时，是否存在实数，使，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由．
16．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
17．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
18．某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，．
(1)求景点电动车专用道BE的长；
(2)由于受资金的限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？
19．对于一组向量，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
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《福建省龙岩第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
B
C
D
A
D
AC
ACD
题号
11
答案
BD
1．C
【分析】对于AB，举例判断，对于C，根据向量的运算性质分析判断，对于D，根据单位向量的定义判断.
【详解】对于A，是两个单位向量，而，所以A错误，
对于B，是两个单位向量，而，
对于C，因为是两个单位向量，所以，所以C正确，
对于D，因为是两个单位向量，所以，所以D错误.
故选：C
2．A
【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出.
【详解】向量，则，
由，得，所以.
故选：A
3．A
【分析】利用正弦定理结合已知条件求解即可.
【详解】解：在中，，
则由正弦定理得，即，解得，
因为且，所以或.
故选：A
4．B
【分析】当甲、乙两船相距最近时，由甲、乙两船和B岛三点构成的三角形中用余弦定理建立航行时间和甲、乙两船距离的函数关系，即可求出.
【详解】