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福建省三明市第二中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．若向量在向量上的投影向量为，且，则（????）
A． B． C． D．
3．已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（???）
A． B． C． D．
4．已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（???）
A．当时，直线的一个方向向量为（1，0）
B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点
C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为
D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面
5．已知等差数列满足：，则的公差为（???）
A．1 B．2 C． D．
6．函数在上的图象大致为（???）
A． B．
C． D．
7．一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（????）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（????）
A．9 B．10 C．18 D．12
二、多选题
9．将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（???）
A．每个盒子中恰有球的概率为
B．事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立
C．随机变量的方差为
D．随机变量的均值为
10．已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（????）
A．若，则
B．若，则所有可能取值的集合为
C．若，则
D．若为正整数，则的前项和为
11．已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（???）
A．与在上有相同的单调性
B．的图象关于直线对称
C．设，则的一个对称中心为
D．当时，与的图象有6个交点
三、填空题
12．已知复数满足，则.
13．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和
14．已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为.
四、解答题
15．已知向量，函数.
(1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴；
(2)当，且时，求的值.
16．如图，在三棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
17．已知函数
(1)当时，求证：
(2)若对恒成立，求的取值范围.
18．已知在平面直角坐标系中，一直线与从原点出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于，两点，且满足，线段的中点为，记点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)点，，，过点的一条直线与交于、两点，直线，分别交直线于点，，且满足，，证明：为定值.
19．“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且．
(1)求x的值；
(2)随机变量的分布列和期望；
(3)求．
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《福建省三明市第二中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
D
A
A
C
BCD
BCD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断.
【详解】集合，
则.
故选：C