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广东省惠州市第一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（????）
A． B．
C． D．
3．已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（????）
A． B． C． D．
4．若，，，则（????）
A． B． C． D．
5．如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（????）
A． B． C． D．
6．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．已知菱形的边长为，对角线与相交于，以为折痕把折起，使点到达点的位置，使．若点都在同一球面上，则该球的表面积为（???）
A． B． C． D．
8．函数的两个极值点满足，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（????）
A．
B．已知函数在上可导，若，则
C．已知函数，若，则
D．
10．数列的前项和为，则下列说法正确的是（????）
A．已知，则使得成等比数列的充要条件为
B．若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022
C．若，则数列前5项的和最大
D．设是等差数列的前项和，若，则
11．已知函数，，则下列说法正确的是（????）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
三、填空题
12．直线被圆截得的弦长为.
13．若直线是曲线与曲线的公切线，则．
14．设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为
四、解答题
15．设正项等差数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足．设在数列中且不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
16．已知函数.
（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．如图，在四面体中，，平面平面，
(1)证明：
(2)若二面角的余弦值为，求．
18．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，证明：；
(3)设，证明：．
19．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）.
(1)当时，求直线的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
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《广东省惠州市第一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
C
D
D
A
ACD
CD
题号
11
答案
ABD
1．B
【解析】根据数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，求出，再求解.
【详解】已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，
所以，
所以，
所以，
所以a1+a3＝7.
故选：B
【点睛】本题主要考查数列的前n项和与项的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．D
【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果.
【详解】设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆的左焦点为，
所以双曲线的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线为.
故选：D
3．D
【分析】根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】由题意可得，而平面的一个法向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
结合线面角范围为，可知直线与平面所成角的大小为，
故选：D
4．C
【分析】构建，利用导数可知在上单调递增，结合单调性分析判断.
【详解】令，则在上恒成立，
可知在上单调递增，则，
可得，即.
故选：C.
5．C
【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高.
【详解】
如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6，
如图2，