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湖南省邵阳市新宁县第一中学2024-2025学年高三下学期第一次测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（????）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．若（为虚数单位），则（???）
A． B．4 C． D．
3．已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（???）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，设展开式的各项系数和为，，则与的大小关系是（????）
A． B．
C．n为奇数时，，n为偶数时， D．
5．（???）
A．2 B．4 C． D．
6．某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为；经过残差分析确定点为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是
A．， B．，
C． D．
7．已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（????）
A． B．2 C．3 D．
8．已知有4个零点，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（???）
A．的离心率为
B．的周长为5
C．的最大值为3
D．的最小值为8
10．如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O?，球O?切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O?，球O?的半径分别为4和1，球心距，则（???）
A．椭圆C的中心在直线O?O?上 B．
C．椭圆C上存在不同的四个点M，使得 D．椭圆C的离心率为
11．如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（???）
A．将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为
B．将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则
C．小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种
D．小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为
三、填空题
12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是.
13．已知中，点D在边上，，，，当取得最小值时，.
14．将一个圆锥整体放入棱长为2的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内，圆锥的轴线与容器的体对角线重合，则圆锥体积的最大值为.
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，，侧面底面，，为线段上一点，且满足.
（1）若为的中点，求证：；
（2）当最小时，求二面角的余弦值.
16．已知函数，其中.
（1）若，求函数的定义域和极值；
（2）当时，试确定函数的零点个数，并证明.
17．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男?女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
(1)根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．
附：，．
18．抛物线的焦点为，，，是上的三个点，直线，均与圆相切，是上的任意一点，的最小值为3.
(1)求的方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若为定值，求.
19．已知数列满足：，，.
(1)若，证明：为常数列，并求的通项公式；
(2)将随机填入的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等；
(3)将所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前项和为，证明：.
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《湖南省邵阳市新宁县第一中学2024-2025学年高三下学期第一次测试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4