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吉林省通化市梅河口市第五中学2025届高三下学期三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，若，则（????）
A．270 B．225 C．180 D．135
3．在复平面内，点对应的复数为，则（????）
A． B． C． D．
4．若随机变量，且，则的最小值为（????）
A．18 B． C．24 D．27
5．若，则（????）
A． B． C． D．
6．已知点在幂函数的图象上，设，，，则（???）
A． B． C． D．
7．有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（???）
A． B． C． D．
8．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（???）
A． B．1 C． D．e
二、多选题
9．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，?，则下列说法正确的是（???）
A．
B．
C．第项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
10．已知函数，则下列说法正确的是（???）
A．若有两个极值点
B．的对称中心为
C．过平面内一点作的切线最多有三条
D．有三个不同的根，则
11．已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（????）
A．若，则
B．若直线的斜率分别为，则
C．若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则
D．的最小值为
三、填空题
12．已知复数满足，其中为虚数单位，则.
13．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为.
14．已知定义在上的函数满足，则；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为.
四、解答题
15．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求a的值．
16．某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.
(1)求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；
(2)用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望.
17．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18．已知函数
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若，求证：．
(3)若在上有唯一的零点，求实数的最小值．
19．已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知.
（i）求数列的通项；
（ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值.
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《吉林省通化市梅河口市第五中学2025届高三下学期三模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
C
A
C
C
D
AC
BC
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】先确定集合，再求交集即可.
【详解】集合，，则
故选：B.
2．C
【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式计算即可.
【详解】因为数列是等差数列，所以，
则.
故选：C.
3．D
【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法及模的运算求解.
【详解】点对应的复数，
则，
所以.
故选：D
4．C
【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案.
【详解】由题意可得，则，
所以，
易知当时，的最小值为.
故选：C.
5．A
【分析】由诱