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江苏省常州市新桥高级中学2024-2025学年高三下学期4月学情检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知（其中为虚数单位），则（????）
A． B． C． D．
3．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（????）
A． B． C． D．
4．已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（???）
A． B． C． D．
5．现要制作一个圆锥形漏斗,其母线长为t，要使其体积最大,其高为（）
A． B． C． D．
6．在中，，点满足，且，则（????）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（????）
A．－2 B．2 C． D．
8．函数的所有零点之和为（????）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多选题
9．函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（????）
A．
B．函数图像的一条对称轴为直线
C．函数在区间上是增函数
D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
10．已知双曲线的左右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于、两点，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为（????）
A． B． C． D．
11．已知函数，数列满足，则（????）
A．方程的解集为
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
三、填空题
12．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若，则展开式中的系数为．
13．现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.
14．设点在的图像上，点在的图像上，且?均在第一象限，若为平面直角坐标系的原点，已知，，则．
四、解答题
15．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求B；
(2)若D为AC中点，且，求．
16．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲
30天
20天
40天
10天
乙
20天
25天
15天
40天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
17．如图，菱形中，把沿折起，使得点至处．
(1)证明：平面平面；
(2)若与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．
18．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴?轴，且点和点在椭圆上
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数（为非零常数），记，.
(1)当时，恒成立，求实数的最大值；
(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上；
(3)若函数，，都存在极小值，求实数的取值范围.
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《江苏省常州市新桥高级中学2024-2025学年高三下学期4月学情检测数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
B
A
D
B
ACD
BC
题号
11
答案
ABC
1．C
【分析】根据交集的定义计算.
【详解】因，
故，所以.
故选：C.
2．B
【分析】求出共轭复数，再利用复数的运算法则即可求出答案.
【详解】因为，，
，
故选：B
3．D
【分析】利用等差数列的