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辽宁省鞍山市海城高级中学2024-2025学年高三上学期第一次抽测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则（???）
A． B． C．5 D．13
2．已知函数，则（????）
A．9 B．7 C．5 D．3
3．设等比数列的前n项和为，且，则（????）
A．4 B．6 C．7 D．9
4．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（???）
A． B． C． D．
5．设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（???）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．若，则（????）
A． B．10 C．15 D．16
7．已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（???）
A． B．
C． D．
10．已知函数，下列结论正确的是（???）
A．的最小正周期为
B．若直线是图象的对称轴，则
C．在上的值域为
D．若，且，则
11．在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（???）
A．异面直线与所成角的余弦值是
B．点到平面的距离是
C．三棱锥的体积为
D．四面体外接球的表面积是
三、填空题
12．已知，则.
13．记的内角的对边分别为，若，则的面积为.
14．在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是.
四、解答题
15．已知椭圆C：的离心率是，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，求直线l的方程.
16．在中，角的对边分别是，且．
(1)证明：．
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
17．如图，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，其中，．
(1)证明：平面平面．
(2)若，求二面角的余弦值．
18．已知函数，.
(1)设直线与曲线交于点P，求P点纵坐标的最小值；
(2)a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式；
(3)证明：当时，对任意正实数a，.（附：）
19．某项测试共有道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记道题的总得分为的取值个数为．
(1)求的值；
(2)当时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求的概率；
(3)求数列的前项和．
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《辽宁省鞍山市海城高级中学2024-2025学年高三上学期第一次抽测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
A
C
C
A
C
ABD
ACD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】先化简的表达式，然后求得的模.
【详解】，
所以.
故选：B
2．D
【分析】根据函数的知识求得正确答案.
【详解】令，得，则.
故选：D
3．C
【分析】根据给定条件，求出等比数列公比即可计算得解.
【详解】等比数列的公比为，由，得，
即，而，则，
因此，
所以.
故选：C
4．A
【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于的不等式组，解不等式组即可得解.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以.
故选：A.
5．C
【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解.
【详解】由题，又，.
，即（t为参数），
取上顶点时最大，此时.
不会为直角，只有当或是直角才符合题意，
所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4.
故选：C.
6．C
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项为，
又，
所以，，
所以，
故选：C
7．A
【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦公