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浙江省杭州市金丽衢十二校2024-2025学年高三下学期（3月）第二次联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．已知向量，，，则的值为（????）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，则为（????）
A． B．1 C． D．2
4．若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（????）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（????）
A． B． C．1 D．e
6．已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（????）
A． B． C． D．
7．设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（????）
A． B． C． D．
8．在中，“”是“为直角”的（????）
A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
二、多选题
9．设，则下列说法正确的有（????）
A． B．
C．该二项式的所有二项式系数之和为64 D．
10．已知函数，，下列说法正确的有（????）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．在区间上单调递减 D．在上的值域为
11．已知正项等差数列与正项等比数列首项相等，且满足，，则下列说法中正确的有（????）
A．的公比为 B．，使得
C．对，数列为递增数列 D．
三、填空题
12．已知椭圆的上顶点与右顶点分别为，若直线的倾斜角为，则的离心率为．
13．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为．
14．有张卡片，正面分别写有数字，，，，，，且背面均写有数字．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一颗均匀的骰子，若点数为，则将第个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为的概率为．
四、解答题
15．为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：
单位：人
数学成绩
语文成绩
不优秀
优秀
不优秀
优秀
(1)依据的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？
(2)以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有位学生的语文成绩优秀，求随机变量的分布列以及数学期望．
附：
16．已知等轴双曲线的左右焦点分别为，经过点的直线与的渐近线相交于点，点的横坐标为，是线段的中点，经过点的直线与相交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)当的面积为时，求的方程．
17．如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面．
(1)证明：共面；
(2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的情况下，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知、，函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(3)若对，函数至多有两个零点，求的取值范围．
19．对任意给定的，若有穷数列满足：其中．则称该数列为“数列”．
(1)当时，是否存在符合条件的“数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“数列”：若不存在，请说明理由：
(2)证明：（i）；
（ii）当时，任意符合条件的“数列”都满足；
(3)当时，求出所有的“数列”．
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《浙江省杭州市金丽衢十二校2024-2025学年高三下学期（3月）第二次联考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
B
B
B
B
ACD
ABD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
则.
故选：B.
2．C
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为向量，，则，
所以，解得.
故选：C.
3．C
【分析】由条件，结合复数除法法则求的代数形式，再由复数的模的公式求