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浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（????）
A． B．
C． D．
2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（????）
A． B．
C． D．
3．已知正三角形的边长为1，则的值为（????）
A． B．1 C． D．2
4．在中，，则的面积为（????）
A． B． C． D．
5．已知，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
6．已知平面向量满足，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
7．是斜边上一点，若，则的值（????）
A． B． C． D．
8．在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（????）
A．的虚部为
B．
C．是纯虚数
D．若是方程的一个根，则
10．已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（????）
A．已知，则
B．已知，则线段的长度为1
C．已知，则
D．已知，则的最大值为
11．已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是（????）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若，则是等腰三角形
C．若，则的取值范围
D．若，则的取值范围
三、填空题
12．已知向量，若，则.
13．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为.
14．已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围.
四、解答题
15．已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
(1)求的值；
(2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
16．已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
17．在中，为线段上的点，分别为的中点.
(1)若，求的值；
(2)若，求的长度；
(3)若，求的值.
18．杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）
??
(1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；
(2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）
19．如图，已知是边长为1的等边三角形，点是内一点.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，且.
(1)若，求的面积；
(2)求的最小值；
(3)若，设的周长为.
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域.
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《浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
A
B
D
C
BC
ABD
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】根据对应点写出复数，再应用复数乘法化简求复数.
【详解】由题设.
故选：A
2．C
【分析】根据平面向量的一组基底为两个不共线的非零向量，结合的坐标，逐项判断可得答案.
【详解】A.为零向量，不能作为基底，A错误.
B.由得，，故，不能作为一组基底，B错误.
C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确.
D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误.
故选：C.
3．C
【分析】由向量加减的几何意义及数量积的运算律求.
【详解】由题设.
故选：C
4．D
【分析】根据已知及余弦定理得，进而有，再应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，且为三角形的最大角，
所以，则的面积为.
故选：D
5．A
【