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浙江省余姚中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则实数（???）
A．2 B． C． D．
2．已知，则（????）
A． B． C． D．
3．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（???）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．已知正方形的边长为，则的值为（????）
A． B． C． D．
5．在中，角的对边分别是，若，则的形状为（????）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
6．向量，，那么向量在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
7．已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
8．在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设复数，则以下结论正确的是（???）
A． B．
C． D．
10．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（????）
A． B．是钝角三角形
C．若，则外接圆半径为 D．若周长为15，则内切圆半径为
11．已知锐角三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（????）
A．的取值范围为
B．的最小值为
C．的面积最大值为
D．的值可能为3
三、填空题
12．设z为复数，若=1，则的最大值为.
13．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为．
14．在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为．
四、解答题
15．已知复数为虚数单位)，z在复平面上对应的点在第四象限，且满足.
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值.
16．在中，分别是角所对的边，已知，，，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求的值．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求；
(3)若，求的最小值．
18．已知A、B、C、D为平面四边形的四个内角．
(1)若，，求；
(2)如图，若，，，，.
①证明：；
②求的值．
19．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.
(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，；
(2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则.
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《浙江省余姚中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
C
A
B
D
BC
ACD
题号
11
答案
AD
1．B
【分析】根据共线向量的坐标表示即可求得结果.
【详解】已知，，所以，解得：
故选：B
2．C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
3．D
【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断；
【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误;
对于B：因为，所以，
且，所以,所以或，故有两解，故B错误；
对于C：因为，所以无解，故C错误；
对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确.
故选：D
4．A
【分析】方法一：建立如图平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解；方法二：利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算即可求解.
【详解】方法一：如图所示，建立以为原点的平面直角坐标系，
得，则，
故．
??
方法二：，