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第十二节解析几何中的创新性问题
重点解读
圆锥曲线背景下的新曲线、新运算问题，关键在于理解新知识的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合.方法总结如下：
（1）明确新曲线的特征，理解新运算的算理、符号及其含义；
（2）联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系；
（3）建立数学模型：根据新的题意，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解；
（4）验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求.
定义新曲线
（师生共研过关）
（1）〔多选〕已知线段｜AB｜＝2，其端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，OP⊥AB，垂足为P，点P的轨迹为如图所示的四叶玫瑰线，则下列结论正确的是（）
A.（S△OAB）max＝1
B.｜OP｜max＝1
C.四叶玫瑰线围成的面积小于π
D.（S△OAP）max＝1
（2）〔多选〕由坐标原点O向曲线y＝1x的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线C如图所示，若点P（x，y）（xy＞0）在曲线C上，则（
A.C的方程为（x2＋y2）2＝4xy
B.若OP的斜率为1，则｜OP｜＝22
C.xy的最大值为1
D.2xy＋y2
听课记录解题技法
解决该类问题的关键是研透新曲线轨迹形成的过程及动点的几何特征，将其转化为熟知的数学表达形式，然后再应用已学过的知识求解.
〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，到定点F1（－a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹是双纽线C.若双纽线C对应的a＝2，点P（x0，y0）为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的是（）
A.C不关于x轴对称
B.C关于y轴对称
C.直线y＝x与C只有一个交点
D.C上存在点P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜
定义新运算
（师生共研过关）
（2024·菏泽模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一个标量值.行列式具有简洁、对称、优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：｜a11a12
a21a22｜＝a11a22－a12a21；三阶行列式定义为：
｜a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33｜＝a11×｜a22a23
a32a33｜－a12×｜a21a23
a31a33｜＋a13×｜a21a22
a31a32｜，例如：｜12
35｜＝1×5－2×3＝－1.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的面积公式可表示为：S△ABC＝｜12×｜x1y1
x2y21
x3y31｜｜.
（1）已知O（0，0），M（－3，－2），N（1，－6），求△OMN的面积；
（2）已知点A（－2，0），B（0，2），若点C是圆x2－2x＋y2＝0上的动点，求△ABC面积的最小值；
（3）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），它的左焦点坐标为（－23，0），右顶点坐标为（4，0），设点D的坐标为（2，1），过原点O的直线交椭圆于点E，F
解题技法
根据新定义的运算规则及算理转化为熟知的运算求解.其关键是理解新运算的运算特征及各量的几何意义.
（2025·乌鲁木齐二模）在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“类距离”为｜AB｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜，我们把到两定点F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）的“类距离”之和为常数2a（a＞c）的点的轨迹叫“类椭圆”.
（1）求“类椭圆”的方程；
（2）根据“类椭圆”的方程，研究“类椭圆”的范围、对称性，并说明理由.
第十二节解析几何中的创新性问题
【考点·分类突破】
考点1
【例1】（1）ABC（2）AC解析：（1）对于A，由｜OA｜2＋｜OB｜2＝｜AB｜2＝4，得4≥2｜OA｜·｜OB｜，即｜OA｜·｜OB｜≤2，当且仅当｜OA｜＝｜OB｜＝2时，等号成立，所以S△OAB＝12｜OA｜·｜OB｜≤1，故A正确；对于B，设P（x，y），易知点P的轨迹（即四叶玫瑰线）方程为（x2＋y2）3＝4x2y2.（x2＋y2）3＝4x2y2≤（x2＋y2）2当且仅当x＝y时，等号成立，即x2＋y2≤1.所以｜OP｜＝x2＋y2≤1，故B正确；对于C，由题图可知，四叶玫瑰