数学
数学力气训练（23）
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1．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值．
解：∵f(x)·f(x＋2)＝13.且f(1)＝2.
∴f(3)＝eq\f(13,f?1?)＝eq\f(13,2)，f(5)＝eq\f(13,f?3?)＝2.
f(7)＝eq\f(13,f?5?)＝eq\f(13,2).f(9)＝eq\f(13,f?7?)＝2，…，
∴f(2n－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2?n为奇数?,\f(13,2)?n为偶数?)).
∴f(99)＝f(2×50－1)＝eq\f(13,2).
[例1]设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
当t＋11，即t0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；
当t1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
[借题发挥]本题中区间是变化的，从运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清楚．
2．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
解：(1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)．
又∵－3≤x≤3，关于原点对称，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－1?2－2?0≤x≤3?,?x＋1?2－2?－3≤x＜0?)).
依据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，
[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，
最大值为f(3)＝2；
当x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，
最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2].
[例2]已知函数f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且此函数图象过点(1,5)．
(1)求实数m的值；
(2)推断f(x)奇偶性．
[解](1)∵f(x)过点(1,5)，∴1＋m＝5?m＝4.
(2)对于f(x)＝x＋eq\f(4,x)，∵x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
∴f(－x)＝－x＋eq\f(4,－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
[借题发挥]在推断函数的奇偶性之前，首先要确定函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，若函数的定义域关于原点对称，则再利用f(x)与f(－x)的关系推断奇偶性．
[例8]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)求实数a的范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(2)求f(x)的最小值．
[解](1)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
(2)当－a≤－5，即a≥5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，所以f(x)min＝f(－5)＝27－10a
当－5＜－a≤5，即－5≤a＜5时，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
当－a＞5，即a＜－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a
综上可得，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(27－10a?a≥5?，,2－a2?－5≤a＜5?，,27＋10a?a＜－5?.))
[借题发挥]解决二次函数的最值问题主要接受图象法或依据单调性求解，若问题中含参数，往往需要分类争辩，该类问题概括起来主要有两类：一是二次函数的解析式确定(不含参数)，而