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高2026届高一下期第二次教学检测
数学试题
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第I卷(选择题共58分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数除法求出复数,再求出即可得解.
【详解】依题意,,
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选:D
2.某大学共有教师1000人,其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为,现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本,如果样本按比例分配,那么讲师应抽取的人数为()
A.16 B.12 C.8 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样的比例关系计算得到答案.
【详解】根据分层抽样的方法,样本按比例分配,讲师应抽取的人数为,
故选:B.
3.已知一个圆锥的表面积为,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长,进而求得圆锥的高,根据圆锥体积公式即可求得答案.
【详解】设该圆锥的底面半径为,母线为,则,,
解得,
则圆锥的高为,
因此该圆锥的体积,
故选:D
4.在锐角中,,为的垂心,,则的外接圆周长为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由外心及垂心性质可证得、,从而证得,同理证得,进而可得四边形为平行四边形,从而在中可求得外接圆半径,结合圆的周长公式计算即可.
【详解】设为外接圆的外心,连接并延长交于点,连接、、,如图所示,
由为外接圆的外心可知,,
又因为为垂心,所以,
所以,同理:,
所以四边形为平行四边形,
所以,
又因为,
所以在中,,即,
所以,所以外接圆周长为.
故选:D.
5.一支田径队有男运动员40人,女运动员30人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本,抽出的男运动员平均身高为,抽出的女运动员平均身高为,估计该田径队运动员的平均身高是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分层抽样抽样比求得样本中男生、女生的人数及平均数公式计算即可.
【详解】由题意知,抽取的样本中男队员有人,女队员有人,
所以估计该田径队运动员的平均身高为.
故选:B
6.如图所示,等腰梯形中,,点为线段上靠近的三等分点,点为线段的中点,则()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】,
,
,
,
故选:A.
7.在中,,边的高等于,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形面积公式可得,由余弦定理可得,结合等边对等角即可求得结果.
【详解】如图所示,
由题意知,,解得,
由余弦定理得:,解得,
所以,
所以.
故选:A.
8.已知点为外接圆的圆心,角,,所对的边分别为,,,且,若,则当角取到最大值时的面积为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由意在可知,代入数量积的运算公式求,再根据正弦定理说明时,也取得最大值,最后求面积.
【详解】
,
,,
,且,
当时,时,也取得最大值,
此时,,
.
故选:A
【点睛】本题考查向量数量积和面积公式,意在考查转化与变形和分析问题,解决问题的能力,本题的关键是根据正弦定理,且,说明时,也取得最大值,后面的问题迎刃而解.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选顶,每选对一个得3分;若有3个正确选项,每选对一个得2分.
9.设是三条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题为真命题的是()
A.若,,则∥
B.若∥,∥,,则∥
C.若,,,则
D.若,,,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用线线位置关系、线面位置关系可判断A项、B项,由线面平行的性质、线面垂直性质及面面垂直的判定定理可判断C项,由面面垂直性质及线面垂直的判定定理可判断D项.
【详解】对于A项,若,,则与可能平行、相交、异面,故A项不成立;
对于B项,因为,,所以或,又,所以,故B项正确;
对于C项,因为,,所以或,
当时,又因为,所以,
当时,过直线作平面使得,如图所示,
因为,,,所以,
又因为,所以,
又因为,所以,故C项正确;
对于D项,设,,过平面内一点,分别作,,如图所示,
因为,,,,所以,
又因为,所以,同理:,
又因为,