6.3三角形的中位线
1.理解三角形中位线的概念、性质.
2.熟练地运用三角形中位线性质定理进行证明和计算.
【重点难点】
掌握三角形中位线的性质定理.
【新课导入】
1.什么叫三角形的中线?
2.今天我们来学习一种新线段:连接三角形两边中点的线段.
【课堂探究】
一、三角形中位线定理
1.如图所示,EF是△ABC的中位线,若BC=8cm,则EF=4cm.?
2.三角形的三边长分别是3cm,5cm,6cm,则连接三边中点所围成的三角形的周长是7cm.?
3.如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=EB,求证:OE∥BC.
证明:由AO=CO和EA=EB得OE是△ABC的中位线,所以OE∥BC.
总结过渡:(1)三角形中位线和第三边具有位置和数量两种关系.
(2)在有公共端点的两条线段的中点时一定要想到构造三角形运用中位线定理解决相关问题.
二、中点四边形
4.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC.(图略)
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴EF∥AC,EF=AC,
HG∥AC,HG=AC，
∴EF∥HG,EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
【小结】
1.这节课你学了哪些知识?
2.你有什么体会?
1.三角形中位线
(1)定义
(2)性质
2.中点四边形:(平行四边形)
由对角线的关系确定平行四边形的具体形状.
1.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为(D)
A.15m B.25m
C.30m D.20m
2.如图所示,已知四边形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时,那么下列结论成立的是(C)
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长不能确定
3.如图,在△ABC中,E,D,F分别是AB,BC,CA的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF的周长是(A)
A.10 B.20 C.30 D.40
4.如图所示,在△ABC中,点D在BC上且CD=CA,CF平分∠ACB,AE=EB,求证:EF=BD.
提示:由等腰三角形三线合一得FA=FD.
又由AE=EB知E是AB的中点,
所以EF是△ABD的中位线,即得结论.
5.如图所示,已知在?ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,求证:MN∥BC.
提示:证△AEM≌△FBM得ME=MB,同理得NE=NC,于是MN是△EBC的中位线,即得结论.
6.已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.猜测:当四边形满足什么条件时,四边形EFGH为矩形、菱形、正方形?
提示:(1)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点得到矩形.
(2)顺次连接对角线相等的四边形四边中点得到菱形;
(3)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点得到正方形.