82.焦点三角形的内切圆与应用
一．基本原理
1.椭圆中，假设焦点的内切圆半径为，则.
2.（★高频考点）双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
3.设焦点在轴的椭圆中，的内切圆圆心为，且与相切于点，设点的坐标为，点的坐标为.则有如下性质:
（1）.
（2），其中为椭圆的离心率.
（3）设直线的斜率分别为,则.
（证明见下面例题1）
4.注意到内心是三角形角平分线的交点，我们也可以利用向量关系来刻画内心：
（2）三角形三条角平分线的交点.内心为
（2）内心性质.是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则P点的轨迹一定通过的内心
证明：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知一定过内心.
二．典例分析
例1．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为第一象限内椭圆上一点，的内心为点，则直线与的斜率之积为（???）
A． B． C． D．
解析：设，，则，易知，
故，
则由椭圆的定义可得．设A，，分别为的内切圆与边，，的切点，则，根据内切圆的性质知，，，
因此，得，解得．在中，，解得，因此，故.故选：D．
例2.（多选题）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则（????）
A．的取值范围是 B．直线与轴垂直
C．若，则 D．的取值范围是
解析：对于A选项，在双曲线中，，，，
所以，、，若直线轴，此时与双曲线的右支交于两点，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，
由题意可得，解得或，
因为，此时，综上所述，的取值范围是，A错；
对于B选项，设圆分别切、、于点、、，设点，由切线长定理可得，，，所以，
，可得，即点，故点为双曲线的右顶点，同理可知，圆切与点，且轴，轴，故轴，B对；
对于C选项，连接、，则，即，因为，所以，，
所以，，且，所以，，则，又因为，所以，，此时，、关于轴对称，所以，为等腰直角三角形，则，故，即轴，此时，直线的方程为，联立，可得，故，C对；
对于D选项，，所以，，故，
则，则，因为函数在上为减函数，在上为增函数，由C选项可知，，则，所以，，D对.故选：BCD.
例3．（多选题）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（????）
A．的最小值为8
B．若直线与交于另一点，则的最小值为6
C．为定值
D．若为的内心，则为定值
解析：对A，得，所以，
所以，
当为双曲线右支与轴交点时，取等号，即的最小值为8，故A正确；
对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为，
与双曲线的两个交点为，此时，故B错误；
对C，因为，
所以，，
两式相加得，，
所以，故C正确；
对D，设为的内心，
，
，
，
，在双曲线上，,为定值，D正确，故选：ACD．
例4．（★考频压轴考题）已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则_______.
解析：如图，记的内切圆圆心为，内切圆在边上的切点分别为，易知两点横坐标相等，，
由，即，得，即，记点的横坐标为，则，则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，设直线的倾斜角为，则，在中，，同理，在中，，所以，即，所以．故答案为：.
例5．（上题迁移到椭圆中）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率__________.
解析：如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，，又，即
化简可得，即，即时，有.故答案为：
三．习题演练
1．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（????）
A． B． C． D．
【详解】如下图所示，设切点为，，，
对于A，由椭圆的方程知：，由椭圆的定义可得：，易知，所以，所以，故A正确；
对于BCD，，
又因为，解得：，
又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；
从而，所以，
所以，而，所以，故C错误；
从而，故D正确.故选:ABD．
2．已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（????）
A．2 B． C． D．
【详解】令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行