79.圆锥曲线焦点三角形的25个常见结论
1．椭圆焦点三角形的主要结论
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
（1）..
（2）.焦点三角形的周长为
（3）..
（4）.焦点三角形的面积为：.
①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.
②．S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
（5）.假设焦点的内切圆半径为，则.
（6）.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有
推导：根据两点间距离公式:，由于代入两点间距离公式可得，整理化简即可得.同理可证得.
（7）.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
（8）若约定椭圆，分别为左、右焦点；顶点在第一象限；，则对于椭圆，离心率
本节中约定已知双曲线方程为如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形，有以下结论：
2．双曲线的焦点三角形
（1）.如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.
（2）.如图，有，
（3）.离心率.
（4）.焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为.
（5）.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
（6）.如图，过焦点的弦的长为，则的周长为.
3.焦点四边形
如图，直线与椭圆交于两点，的左右焦点记为，则称为椭圆的焦点四边形.
性质1：为平行四边形.
性质2：.
性质3：任意两邻边之和为，?周长恒为.
性质4：.等号成立当且仅当不存在.
性质5：当且仅当不存在时，取最大张角.此时，取最小值.
性质6：由平行四边形性质可得：
性质7：由余弦定理：
.由均值不等式：.则当且仅当时..
性质8：若四边形为矩形，则.由矩形性质可知，对平面内任意一点，有.
性质9：设的坐标分别为，则，.
性质10.如图，直线与双曲线交于两点，的左右焦点记为，则为平行四边形.
4．椭圆与双曲线共焦点
结论1：已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.
证明：依题意，在中，由余弦定理得
，
所以，即.
二．典例分析
例1．（2021全国乙卷）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（????）
A． B． C． D．
解析：因为，由双曲线的定义可得，
所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A
例2．（2021新高考1卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（????）
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．
例3．（2023新高考1卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（????）．
A． B． C． D．
解析：将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，，解得或（舍去），故选：C.
例4．（2023全国甲卷）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（????）
A． B． C． D．
解析：设，所以，
由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，
即，因此．故选：B．
例5．（2021全国甲卷）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，
所以，，即四边形面积等于.
故答案为：.
例6．（2023新高考1卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
解析：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，故，
所以在中，，整理得，故.
例7．（2022新高考1卷）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是____________．
解析：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，
∴，∴，得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：