70.立体几何新教材中的一些常考几何体
一．素材展示（均选自人教A版必修二教材）
二．典例分析（以下按照上图顺序展开），下面进入正文分析
★1.阿基米德多面体
例1．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
解析：如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接，∵分别为的中点，则，∴正方体的边长为，故，可得，
根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，故该半正多面体外接球的表面积为.
故选：D
例2．（多选题）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体．已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（????）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的表面积为
解析：A：如图，因为，所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
所以该半正多面体的体积为：，故A正确；
B：根据该半正多面体的对称性可知，过三点的截面为正六边形，
又，所以正六边形面积为，故B正确；
C：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，
即正六边形的中心，故半径为，所以该半正多面体外接球的表面积为，故C错误；
D：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为，所以其表面积为，故D正确.故选：ABD
★2.正八面体
例3．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（????）
??
A．直线与是异面直线 B．平面平面
C．该几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为
解析：正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：
??
因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为.∵，，，四点共面，直线与是共面的，故A错；
设二面角为，，，所以.
所以：二面角，故B错；
，故C错；由八面体的构成可知：平面和平面之间的距离是正方体体对角线的，所以两个平面之间的距离为：，故D对.
故选：D
例4．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（????）
??
A． B．该几何体的体积为
C．动点的轨迹长为 D．该多面体内切球的半径为
解析：对于A，取的中点，连接，由正三棱锥的性质可得，
因为，所以平面，所以，正确.
??
对于B，在正三棱锥中，作高线，由正三角形的性质可得，，所以，其体积为，所以该几何体的体积为，不正确.
??
对于C，由几何体的对称性可得，四点共面，由选项A可知，平面，
所以点的轨迹为线段和及棱和，其长度为，正确.
??
对于D，设几何体的内切球半径为，球心为，连接球心和各顶点，则有，即，解得，正确.故选：ACD
例5．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（????）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线平面
解析：对于A，，所以表面积为，故A对；
对于B，如图所示：
设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心，所以，又因为，所以正三棱锥的高为，所以题图所示几何体的体积为，故B错；
对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，所以面，而面，所以面面，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：
其中轴平行，因为，
所以，
设平面的法向量为，所以，
不妨取，解得，所以取，
又，而，所以直线与平面不平行，故D错.故选：AC.
★3.鳖臑
例6.如图所示的阳马中，侧棱底面,且,点是的中点，连接．
（1）.证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）.记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．
图1
图1
证明：（1）因为底面，所以；由底面为长方形，有，而，所以平面，平面，所以
又因为，点是的中点，所以，而，所以平面，由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形.
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是
（2）由已知，是阳马的高，所以；由（1）
知，是鳖臑的高，，所以.
在△中，因为，点是的中