60.异面直线所成角的计算与应用
一．基本原理
1.异面直线所成角与基本做法
①定义：设是异面直线，经过空间任一点，作直线，把直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角)，其范围为.特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作．
该定义就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间图形问题转化为平面图形问题.
具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的（凌晨讲数学）取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
2.空间余弦定理：如图，在空间四边形中，连接，设异面直线与的所成角为，那么同理，异面直线与的所成角的余弦值为：；异面直线与的所成角的余弦值为
3.向量法计算公式：异面直线所成角
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①②
例1．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
解析：连接，取的中点，连接,，
由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角），在中，，则,则异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.
例2．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是___________
解析：取棱AB的中点，连接HG，FG，因为H，G分别是棱BC，AB的中点，所以，则是异面直线HF与AC所成的角或补角，设，则，在中，由余弦定理可得，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是.
例3．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（????）
??
A． B． C． D．
解析：连结，取中点，连结，，如图所示，??则，可知即为异面直线，所成角（或其补角），
，，
，，
所以，即异面直线，所成角的余弦值为.故选：D
例4.（2022届武汉九月调考）空间四面体中，，，直线与所成角为，则该四面体的体积为_________.
解析：（方法1）∵??AB=2，BC=，AC=4，∴为直角三角形，同理可得为直角三角形，如图，作直角三角形和斜边上的高BE，DF，则AE=CF=1
∴???E，F是线段AC的两个四等分点，作平行四边形BEFG，则BE⊥AC，DF⊥AC，
由线面垂直判定定理可得AC⊥平面DFG，又AC平面ABGC,∴??平面ABGC⊥平面DFG，
在平面DFG内，过点D作DH⊥FG,垂足为H,由面面垂直的性质定理可得DH⊥平面ABGC，
∴??DH为四面体ABCD的底面ABC上的高，由三角函数定义可得
又因为BG∥AC，所以BG⊥DG,又因为直线BD与AC所成的角为45°，所以∠DBG=45°，
∴??为等腰直角三角形，∴??GD=GB=EF=2，在中GD=2，BE=DF=
由余弦定理可求得，∴??，所以四面体的体积.故答案为：.
（方法2）依题，由空间余弦定理：得：，
于是，.
这样的话，体积.
下面看一下补形法的应用，这也是计算异面直线所成角的一个好方法.
例5．在梯形中,，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（????）
A． B． C． D．
解析：如下图，将梯形补成长方形，折后得到直三棱柱，
因为，所以，
异面直线与所成角即为与所成角，即或其补角，
又该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设外接球半径为R，则，
所以，设外接圆半径为r，圆心为，外接圆圆心为，
则三棱柱的外接球的球心为的中点O，连接，则，
所以，又，即，
又中，，即，（凌晨讲数学）化简得，即，所以，故选：C.
??
例6．在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为_________.
解析：依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为，所以或，设，外接球半径记为，
外接球的球心如图点.易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
，得，
在中，，
在中，由余弦定理得，所以当时，外接球的半径会更小.所以，所以，所以.故答案为：3.