56.正棱锥的性质及应用
一．基本原理
1.斜高：\t/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank空间几何体的顶点到其\t/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank底边的\t/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank距离，即为斜高，就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离，就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离.
2.正棱锥中的直角三角形
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高，底面为正方形，作于，则为斜高.
①.斜高、侧棱构成直角三角形，如图中．
②.斜高、高构成直角三角形，如图中.
③.侧棱、高构成直角三角形，如图中．
3.人教版教材必修二152页练习4有如下的设问：过所在平面外一点，作，垂足为，连接.
（1）若，则为的________心.
（2）若，，则为边的________点.
（3）若，垂足都为，则为的________心.
注：显然，四点作成一个三棱锥（四面体），下面我们逐个分析其性质.
（i）等腰四面体：当时，类似于等腰三角形，此时四面体的三条腰长相等.
上述习题第一问即是证明等腰四面体的一个重要性质：
结论1.顶点在底面的投影恰好是底面的外心.
证明：如图，由于，故根据勾股定理：
，即顶点在底面的投影恰好是底面的外心.
结论2.外接球：既然如此，根据外接球的性质，三棱锥外接球的球心在线段或者线段的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为，的外接圆半径为，线段的长度为，则有：或.
特别地，若底面为正三角形，则三棱锥为正三棱锥，进一步，若三条棱长与底面三角形边长均相等，三棱锥为正四面体，由上述结论可得：假设棱长为，则外接球半径为.
（ii）显然，有了（i）的分析，上述练习题的第二问简单，若，，则为边的中点.
结论3.过所在平面外一点，作，垂足为，连接.若
，垂足都为，则为的垂心.
证明：由于，则，又因为，则面，即
，这样的话，面，于是，则在边的高线上，同理可证得在的高线上，故为的垂心.
注：由证明可得：三条侧棱两两垂直可推得对棱相互垂直，把对棱相互垂直的四面体称为垂心四面体，即高过底面的垂心.
结论4.由上述推证易知：正三棱锥的对棱垂直.
结论5.正三棱锥的内切球
方法1.轴截面法
如图1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球半径.第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出.
方法2.等体积法
三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径，方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.第一步：先算出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
二．典例分析
例1.（2019全国1卷）三棱锥的四个顶点都在球上，，为边长是2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（）
A． B． C． D．
解析：由上述分析可知，设外接球的半径为，的外接圆半径为，三棱锥的高为，则，显然，，故欲算只需计算，而等腰四面体还有基本关系：，即只需计算出腰长即可，这样就可将已知条件利用起来解题.
解：设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形.
又，中余弦定理：
，作于，，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.
方法2.由于正三棱锥的对棱垂直，再利用题干给的垂直关系，此题还可以做如下的证明，即将其还原到一个正方体中.
法2.为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．
例2．金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（????）
A．1 B． C． D．
解析：如图，设正四棱锥的底面边长为，设为底面的中心，高为，
设为的中点，则设斜高为，连接，设侧面与底面所成的角为，
由于，所以即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角，
由平面，平面,所以所以，
因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，即，
又，所以，故选：C.
例3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（???????）
A． B． C． D．
解析：∵球的体积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，，所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值