31.三角函数的图像与性质应用中的十大核心考点
一.基本原理
1.正弦函数的性质.(1).定义域:.
(2).值域:.
(3).周期性:周期函数，周期是,最小正周期为.
(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性:增区间：
减区间：
(6).对称性:对称轴：，对称中心：
2.正弦型函数的性质.
(1).定义域:.
(2).值域:
(3).周期性:周期函数，周期是.
(4).奇偶性:当时为奇函数；当时为偶函数.
(5).单调性:当时：令，求解增区间.
令，求解减区间.
当时：注意单调区间的转化.
(6).对称性:对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
对称中心：令，求解对称中心坐标.
余弦型类似推导，此处不再赘述，请读者自行填补.可以看到，处理复合型函数性质的妙招就在于换元，令，换成标准的正弦（余弦函数来处理）.
3.一些复杂的性质
①.零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍；
②.对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍；
③.若在区间上单调,则必要条件是：区间长度不超过半个周期,即,
充分条件是：单调区间是最大单调区间的子集，即
综上可得,
④.对称轴公式：(1).(2).
⑤.中心对称公式：(1).，(2).
⑥.最值表示：
4.
4.1.仿射变换：平面上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，即.
4.2.仿射变换具有以下性质
（1）仿射变换把直线变成直线.
（2）仿射变换保持共线三点的简单比值不变.
（3）仿射变换把线段变成线段,并保持线段的分比不变.
（4）若纵坐标保持不变，横坐标拉伸倍后，水平长度也拉伸倍（）
二．典例分析
题型1.识图与做图
例1．（2023年全国甲卷）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，
??
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.
例2．（2024年新高考1卷）当时，曲线与的交点个数为（????）
A．3 B．4 C．6 D．8
解析：因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C
题型2.由图象的基本性质求参数（解析式）
这里的基本性质主要指的是函数图像与坐标轴交点，对称轴等基本性质.
例3.（2020全国1卷.）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）
A.B.C. D.
解析：由图可得：函数图象过点，又它是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：，故的最小正周期为，故选：C.
点评：再利用图象求参数时，要注意“升降零点”的概念，此题中就是余弦函数上升中的零点，这样做的好处就是可以在一个周期内考虑问题，从而有效地缩小参数范围.
再看同款下例.
例4.（2021甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．（凌晨讲数学）
解析：由图可知，即，所以；由降零点可得
，即；所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.
题型3.由图像的几何性质求解析式
这里指的是依托于图像的对称性等性质进一步构造几何图形来刻画的关系，相较于上一类，这类题目具有一定的综合性.
例5．若函数与图象的任意连续三个交点构成等腰直角三角形，则正实数（????）
A． B． C． D．
解析：作出函数和的图象，设两图象相邻的3个交点分别为A，B，C，如图所示，作，垂足为D，易知，又为等腰直角三角形，所以，所以的最小正周期，即，所以.故选:A.
??
题型4.图像对称轴（中心），周期公式的综合应用
例6.（2022新高考1卷）记函数的最小正周期为．若
，且的函数图象关于点中心对称，则
A． B． C． D．
解析：，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，，故．
例7.（2022全国乙卷）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_________.
解析：由于，故，且，故，
，故的最小值为3.
题型5.图象平移
下面看到函数图象的平移问题，这也是三角函数图象中的经典考题