利用曲线方程研究曲线的对称性
一．基本原理
1.关于轴对称
代数判断方法：若对于曲线方程，将换为后方程与原方程等价，则曲线关于轴对称.
2.关于轴对称
代数判断方法：若对于曲线方程，把换为后方程与原方程等价，那么曲线关于轴对称.
3.关于原点对称
代数判断方法：对于曲线方程，把换为，换为后方程与原方程等价，则曲线关于原点对称.
4.关于直线对称
代数判断方法：将曲线方程中的与互换，得到方程，若它与原方程等价，则－曲线关于直线对称.
5.关于直线对称
代数判断方法：将曲线方程中的换为，换为，得到，若与原方程等价，则曲线关于直线对称.
二．典例分析
例1.（四川省成都市2025届高三二诊）．对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为_________.
解析：因为把换成，方程不变，所以曲线关于轴对称；
因为把换成，方程不变，所以曲线关于轴对称；
因为把换成，同时把换成，方程不变，所以曲线关于坐标原点对称；
因为把换成，同时把换成，方程不变，所以曲线关于直线对称，因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点，从而最小覆盖圆的半径为曲线上点到原点距离最大值，
，（当且仅当时取等号）因此最小覆盖圆的半径为，故答案为：
例2．已知曲线的方程为，则（????）
A．曲线关于直线对称
B．曲线围成的图形面积为
C．若点在曲线上，则
D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为
解析：曲线上任意点有：，该点关于的对称点有，即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，故选项A正确；
因为点在曲线上，点，点也都在曲线上，则曲线关于轴，轴对称，当，时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，所以曲线围成的图形的面积是，故选项B正确；
点，在曲线上，则，，
，，解得，故选项C正确；
曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，故选项D不正确．故选：ABC．
例3．（2025·安徽合肥·一模）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（????）
A．曲线关于直线对称
B．曲线有4个顶点
C．曲线与直线有4个交点
D．曲线上动点到原点距离的最小值为
解析：对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确；
对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线，直线，共有8个顶点，B错误；
对于C，由得，
即，可得，对于方程，，则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3，
所以方程有4个不等实根，
从而曲线C与直线有4个交点，C正确；
对于D，由得，
，当且仅当，即时取等号，则的最小值为，曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误；故选：AC
三．习题演练
1.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点．
（1）求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程；
（2）求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
（3）求平面图形W的最小覆盖圆的方程．
解析：（1）因为点A的坐标满足，则，解得或（舍），故，设的外接圆的方程为，则，解得，故的外接圆的方程为，又是锐角三角形，所以的最小覆盖圆的方程为；
（2）因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为，又，故点A，C在圆内，所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为；
（3）因为平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上的一点，
则，当，即时，取得最大值，故平面图形W的最小覆盖圆的方程为．
2．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过1；
③存在一个以原点为中心?边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）.
其中，正确结论的序号是（????）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解：对于①，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线关于直线对称，故①正确，
对于②，设点是曲线上任意一点，则，则点到原点的距离为，由，解得，当且仅当时取等号，故②正确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，
所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，故③错误.
故选：A