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68.动态问题中的空间位置与最值关系
这类问题的特征是空间几何体上的动点在运动过程中始终保持与某一固定的几何结构如固定的线段或者固定的平面垂直或者平行，或者动点到某个定点的距离为定值.在这样的约束条件下，看似毫无规律的动点运动将会有迹可循，从而为我们后续进一步的讨论打下基础.
需要注意的是，在上述约束条件的翻译过程中，几何法和坐标法均可适用，所以不必拘泥于哪种方法，重要的是将约束条件准确翻译，从而找到动点实际的运动踪迹.
一．典例分析
例1．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（???????）
A． B． C． D．
解析：由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，
作图如下：
在正方体中，易知，，，则共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，当平面时，平面，正方体的棱长为，在中，，解得，同理，在中，，解得，
则中边上的高，即，故选：D.
例2．若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（?????）
A． B． C．3 D．
解析：分别取，中点，，连接，，，首先与平行且相等，与平行且相等，因此与平行且相等，
四边形是平行四边形，在同一平面内，易得，，所以，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.
而，则平面，所以点轨迹是矩形（除点）.四边形是矩形，当与重合时，最大，且最大值为.故选：C.
习题1.正方体棱长为点，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，满足，则动点的轨迹的周长为_________.
解：如图正方体中连接：易得平面，在上取使得连接，易得根据线面平行判定定理征得平面平面，所以平面，所以线段就是点的运动轨迹，因为
所以动点的运动轨迹周长为故答案为：
习题2.已知在边长为的正方体中，分别是
的中点，在四边形边上及其内部运动，若面，则点轨迹的长度是（）.
B.C.D.
解析如图，连接，由条件知.又面，面，所以面，同理可征得面.又，所以面面.又点在四边形上及其内部运动，面，所以点须在线段上运动，即满足条件.又，则点轨迹的长度是.故选D.
习题3.（多选题）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（????）
A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
解析：对A，如图，令中点为,中点为,连接，又正方体中，为棱的中点，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；
对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时,所以体积最小值为，故选项B正确；
对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,
，而，,故选项C不正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，,,,所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,由,,可得外接球半径，
外接球的表面积为，故选项D正确.故选：ABD.
习题4．已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（????）
A．平面 B．球的表面积为
C．的最小值为 D．与平面所成角的最大值为60°
解析：对于A，如图1，由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，
又面面，而面面，面面，故，即；由平面几何易得，即；所以四边形是平行四边形，故，而面，面，故平面，故A正确；
.
对于B，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则，
在等腰梯形中，易得，即，为方便计算，不妨设，则由，
即，即，又，解得，即与重合，故，故球的表面积为，故B错误；
.
对于C，由图2易得，，，面，
故面，不妨设落在图3处，过作，则面，故，故在中，（勾股边小于斜边）；同理，，
所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；
再看图4，由可知，故，故C正确，
.
对于D，由选项C可知，面，面，故面面，
在面内过作交于，如图5，则面，面面，故面，故为与平面所成角，在中，，故当取得最小值时，取得最大值，即取得最大值，
显然，动点与重合时，取得最小值，即取得最大值，且，在中，，，，故为正三角形，即，即与平面所成角的最大值为，故D正确.故选：ACD.