任意角、弧度制及三角函数的概念
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1强基础固本增分
知识梳理象限角轴线角1.角的概念的推广(1)定义:角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合.?(4)象限角:在直角坐标系内,取角的顶点为坐标原点,角的始边为,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.?{β|β=α+k·360°,k∈Z}x轴的非负半轴
微思考(1)锐角一定是第一象限角吗?第一象限角一定是锐角吗?(2)终边相同的角是否一定相等?提示锐角一定是第一象限角.但第一象限角不一定是锐角.提示终边相同的角不一定相等,它们之间相差360°的整数倍.
半径长2.弧度制的定义和有关公式(1)定义:长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,“弧度”用符号rad表示.?
(2)公式角α的弧度数的绝对值|α|=?角度与弧度的换算1°=rad;?1rad=?弧长公式弧长l=?扇形面积公式利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度S=lr=?|α|r
微点拨有关弧度制的注意点:(1)角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(2)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0θ2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
3.任意角的三角函数弧度制下,任意一个实数都表示
一个角,角与实数之间一一对应(1)设α是一个任意角,在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定义:以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切.
y=sinα,y=cosα,y=tanα分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数统称为三角函数.在弧度制下,正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表:三角函数定义域y=sinαRy=cosαRy=tanα?
(3)三角函数值在各象限内的符号口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦sinαcosαtanα
常用结论1.象限角的集合
2.轴线角的集合
自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.第二象限角必大于第一象限角.()2.终边相同的角的三角函数值相等.()3.若sinα0,则α是第一或第二象限角.()4.若α为第一象限角,则sinα+cosα1.()×√×√
题组二回源教材
6.(人教B版必修第三册7.2.1节练习B第5题改编)已知角α的终边在直线y=2x上,则sinα=.?
7.(湘教版必修第一册5.2.1节例1改编)已知角α的终边经过点P(-1,2),求α的正弦、余弦和正切值.
题组三连线高考8.(2014·全国大纲,文2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=()D?
9.(2007·北京,理7)已知cosθ·tanθ0,那么角θ是()A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角C解析∵cosθ·tanθ0,∴当cosθ0,tanθ0时,角θ是第三象限角;当cosθ0,tanθ0时,角θ是第四象限角.
2研考点精准突破
考点一象限角与终边相同的角C
(2)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上D
变式探究(变条件)若本例(2)中α是第一象限角,则是第几象限角?
C
考点二弧度制、弧长公式及扇形面积公式的应用例2已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l,(1)若α=30°,R=10,求扇形的弧长l;(2)若α=,R=2,求扇形的弧所在的弓形的面积;(3)若扇形的周长为20,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
[对点训练2](1)(2024·陕西西安模拟)折扇(如图1)在我国已有三千多年的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征,图2为其结构简化图,设扇面A,B间的圆弧长为l,A,B间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角),则l,d和θ所满足的恒等关系为()图1图2A
(2)(2024·天津河东模拟)在面积为4的扇形中,其周长最小时半径的值为()A.4 B.C.2 D.1C
考点