法向量在立体几何中的应用
薛树英甘肃省合水第一中学(745400)
高中数学新教材中引进了空间向量的概念和知识,拓宽了解答立体几何问题的思路和方法.对于一些特殊的图形,如正方体、长方体、正四棱柱、直三棱柱、正三棱锥、正四棱锥以及其它特殊图形等,通过建立空间直角坐标系,应用空间向量的知识和方法,可以使解决几何问题数量化、程序化,同时,可以又减少辅助线的条数和辅助面的个数,充分显示了空间向量在立体几何中的强有力的工具作用.
1法向量的概念
如果直线与平面垂直,在直线取向量,就说垂直于平面,记作,于是把向量叫做平面的法向量.
2法向量的应用
2.1求异面直线的夹角
设为异面直线的夹角,在直线分别取向量,则
图12.2求异面直线间的距离(点到平面的距离)
图1
如图1,点P在平面外,
PO垂直平面于O点,PA是
平面的的斜线,斜足为A点.
平面的法向量为(与共线),
线面角为,直线AP、OP的
夹角为,P点到平面的距离
为d,则
∴
2.3求线面角
如图1所示,
2.4求二面角的平面角
图2设二面角的平面角为,向量分别为平面的法向量,则
图2
其中,为锐角时取“+”号；
为钝角时取“-”号.
另外,还可以应用法向量的
知识证明线面平行、线面垂直、
面面垂直,方法非常简单,这里从略.
3应用举例
例1(2007年高考全国卷Ⅱ理科19题)
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点
(1)求证：EF∥平面SAD;
(2)设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小.
解:(1)以D为原点,分别以向量的正方向为x轴、y轴、
图3z轴的非负半轴,建立空间直角坐
图3
标系,如图2所示.设DA=2,则
A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、
D(0,0,0)、S(0,0,4),于是
E(2,1,0)、F(0,1,2).
∴
∵平面SAD法向量
∴
又∵EF在平面SAD外
∴EF平面SAD.
(2)设平面AEF的法向量为
∵,
∴令,得
设平面DEF的法向量为
∵,
∴令,得
设二面角A-EF-D的平面角为,则
∴.
例2(2007年高考全国卷Ⅰ理科19题)
如图,四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，
图4SA＝SB＝.
图4
(1)证明：SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SAB
所成角的大小.
解:(1)作于E点,则
又∵BC=2
∴,
即E点是BC的中点.又∵
∴,即SE是BC的中垂线.
又∵侧面SBC⊥底面ABCD∴.
(2)以E为原点,分别以向量的正方向为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图4所示.容易求得SE=1,于是A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),D(,-2,0),S(0,0,1),E(0,0,0).
设平面SAB的法向量,
∵,
∴令,得.
又∵
设直线SD与平面SAB所成的角为,则
∴.
例3(由2007年高考全国卷Ⅰ理科19题改编),题意同例2.
求异面直线DC、SA的距离.
解:建立坐标系同例2.
∵∥AB∴DC∥平面SAB
设异面直线DC、SA的距离为d(即D点到平面SAB的距离),则
.
总之,新教材立体几何有A、B两个版本,高考命题要兼顾两个版本的不同情况,而B版本中引进了空间向量,对于解答立体几何问题增加了新的思路和方法,因此,加强对空间向量应用方面的研究,无疑对备战高考和提高学生数学成绩都意义重大.