83.新概念背景下的距离问题与应用
一．基本原理
★1.欧几里得距离：也称为欧氏距离，是最常见的距离度量方式.在二维平面中，两点之间的欧几里得距离.
在维空间中，两点和之间的欧几里得距离为
.
★2.曼哈顿距离：在二维平面上，两点之间的曼哈顿距离
.在维空间中，两点和之间的曼哈顿距离为，它表示在网格状的空间中，从一点到另一点的最短路径长度，不允许斜向移动.
★3.切比雪夫距离：二维平面上，两点之间的切比雪夫距离
.在维空间中，两点和之间的切比雪夫距离为.
★4.闵可夫斯基距离：它是欧几里得距离，曼哈顿距离等的一般化形式.
对于维空间中的两点和，闵可夫斯基距离定义为，其中.当时，就是曼哈顿距离；当时，就是欧几里得距离；当时，就是切比雪夫距离.
★5.豪斯多夫距离
设和是度量空间中的两个非空子集，豪斯多夫距离定义为：
通俗地说，豪斯多夫距离是从集合中的点到集合中的点的距离的上确界与从集合中的点到集合中的点的距离的上确界两者中的较大值.
★6.其他泛函距离
对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．
二．典例分析
例1．已知实数满足，则的最小值为_______.
解析：因为，所以
，则，相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图，
因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求，所以所求最小值为.故答案为：.
例2．已知实数，且函数，则函数的最小值为___________．
解析：由题意得，设，，
则点在曲线上，点在抛物线上，的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和．设抛物线的焦点为，则由抛物线的定义知，所以，所以，
问题转化为求曲线上的点到点的距离的最小值，设曲线上的点，到点的距离最小，则与曲线在点处的切线垂直，
即，所以，作出函数与函数的图象，如图所示：
由图象知，两函数图象只有一个交点，所以方程的解为，则．
所以，所以函数的最小值为．
故答案为：．
例3．闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
解析：由题意得，设，因为点A、B分别在函数和的图象上，所以，
当且仅当时等号成立.设，，则，令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，
即，所以的最小值为.故选：A.
例4．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（????）
A．，，则
B．为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆
C．对任意三点、、，都有
D．已知点和直线：，则
解析：对于选项A：若，，则，
因为，所以，故A正确；
对于选项B：设，若，则，且等号至少有一个成立，
可得的轨迹如图所示，为正方形，故B错误；
对于选项C：设，则，
同理可得，所以，故C正确；凌晨讲数学
对于选项D：设为直线上一点，则，
当，即时，则，可知当时，取得最小值；
当，即或，则，无最小值；综上可得：，故D正确；故选：ACD.
例5.（江苏省苏北七市州2025届高三一模）．在平面直角坐标系中，设，，定义：．若，且，则下列结论正确的是（????）
A．若关于x轴对称，则
B．若关于直线对称，则
C．若，则
D．若，，则
解析：对于A，因为关于x轴对称，且，，所以，而，得到，同理，即此时满足，故A正确，
对于B，因为关于直线对称，且，，所以，则，
，构造，由指数函数性质得在上单调递增，，因为，且，所以，得到，
则，得到，即，则，故B正确，
对于C，由题意得，，因为，所以，得到，令，符合题意，此时，
而，则，由已知得，则，故C错误，
对于D，设，，则，则，同理可得，得到，而，
得到，则，即此时满足题意，则，得到，故D正确.凌晨讲数学
故选：ABD
例6．在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“距离”为，其中表示中的较大者，则点与点之间的“距离”为_________.若平面内点和点之间的“距离”为，则点的轨迹围成的封闭图形的面积为___________.
解析：点与点之间的“t距离”为
；若平面内点和点之间的“t距离”为，则，
不妨设，解得或，此时，即，
由对称性可知，当或时，，如图所示：
，所以A点的轨迹就是正方形的四条线段，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为.故答案为：；4.
例7．在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在一个与它之间距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求.
参考公式，四元均值不等式，当且仪当时取到等号.
解析：（1）