58.证明空间平行的八种常见解法
一．基本原理
1．直线、平面平行的判定及其性质
在空间平行的证明中，线面平行的证明是最常见的，而线面平行的证明主要是证明空间线线平行，其主要的手法有：
（1）.构造中位线证明平行
（2）.利用相似比证明平行
（3）.构造平行四边形证平行
（4）.利用线面平行性质证平行
2．直线、平面垂直的判定及其性质
二．典例分析
题型1.构造中位线证明平行
题型2.利用相似比证明平行
题型3.构造平行四边形证平行
题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）
题型5.利用线面平行性质证（找）平行
题型6.利用面面平行证线面平行
题型7.面面平行的证明
题型8.空间向量证明平行
例1．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．证明：
平面.
解析:证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以,所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，
所以平面
题型2.利用相似比证明平行
例2．如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.证明：平面.
解析：取中点，连接，如图，由题意，，又.又，故，
所以四边形为平行四边形，则，又面平面，
故平面.
题型3.构造平行四边形证平行
例3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．证明：BE平面PAD
解析：（1）取中点，连接．
，四边形为平行四边形，，又不在平面平面，平面．
题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）
例4．如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．证明：平面.
解析：如图，取的中点，连接，则，又因为平面平面，且平面平面，平面，则平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．
题型5.利用线面平行性质证（找）平行
线面平行的性质除了可以找到线线平行之外，还给出了一个找面与面交线的方法，这在很多面面相交，但交线未知的问题中会用到该结论.
例5．如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为.设平面与平面的交线为，求证：.
解析：取的中点，连接，因为，所以，
又平面，所以平面，又因平面，所以，因为平面，平面，所以平面，又因平面与平面的交线为，平面，所以，因为，所以.
例6．如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.证明：平面.
解析：因为分别为的中点，所以，.又平面，平面，
所以，平面.又平面，平面与底面的交线为，所以，.
从而，.而平面，平面，所以，平面.
题型6.利用面面平行证线面平行
例7.如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，，劣弧上是否存在点D，使得平面？
解析：如图过点作的平行线交劣弧于点D，连接，，
因为∥，平面，平面，则∥平面，同理可证∥平面，，且平面，平面，所以平面∥平面，又因为平面，所以∥平面，故存在点满足题意.
题型7.面面平行的证明
例8．如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.证明：平面平面.
解析：如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.
题型8.空间向量证明平行
例9.（2022乙卷）在正方体中，分别为的中点，则
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
解析：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，
又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；接下来的选项通过向量法来分析.
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，则，，
设平面的法向量为，则有，可取，
同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，
平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.