2025届辽宁省部分重点中学协作体高三高考模拟考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．图中阴影部分用集合符号可以表示为（????）
A． B．
C． D．
2．使复数为纯虚数的最小自然数是（）
A． B． C． D．
3．第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（）
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
4．过原点且与曲线相切的直线有（????）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知向量，向量满足，则的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知双曲线C的离心率为，、为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则（）
A． B． C．2 D．
7．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（）
A． B． C． D．
8．设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（）
A． B． C．1 D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则下列结论正确的是（）
A．
B．数据的标准差为3
C．数据的分位数为10
D．记，随机变量，，则
10．已知函数，则（）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
11．如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（）
A．点在曲线上
B．双纽线的方程为
C．
D．点在椭圆上，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则.
13．记为正项数列的前项和，，为等比数列，则.
14．有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现在我们并不知道密码是多少，当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错.则正确的密码为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求A；
(2)若，求的面积.
16．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
17．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点.
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
18．某高中全体学生参加一次知识竞赛.竞赛共有5道单选题.每题四个选项中有且只有一个是正确的，每道题答对得2分，答错和不答都得0分，假设每个学生答对每道题的概率均为.
(1)学生甲在前3道题答对2道题的条件下，求他最终得6分的概率；
(2)现随机抽取10名学生，记第个人的得分为随机变量，得到的一组观测值如下：
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
6
8
6
10
6
10
8
6
10
8
（i）从这10名学生中随机抽取4名学生，设抽到得10分的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（ii）设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.
19．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值?若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为，，
因此使得复数为纯虚数的最小自然数是.
故选C.
3．【答案】B
【详解】先确定相同的科目，有4种情况，
再从剩下的3个科目中，甲、乙各选一个不同的科目，有种情况，
则他们四选二科目的选科方式共有种.
故