湖北省宜昌市第一中学2024?2025学年高三下学期4月宜荆荆恩四校联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设复数满足，则（????）
A． B． C． D．5
2．已知命题，，命题，，则（????）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
3．已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（????）
A． B． C． D．
4．已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
5．运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（????）
A．32种 B．24种 C．18种 D．12种
6．已知函数，，在公共定义域内，下列结论正确的是（????）
A．恒成立 B．恒成立
C．恒成立 D．恒成立
7．已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（????）
A． B． C． D．
8．设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（????）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，也与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为．若点的坐标为，则（????）
A．
B．
C．的最小值为
D．圆上的点到直线的最大距离为
11．已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（????）
A．当时，则直线与所成角的正切值范围是
B．当，时，则的最小值为
C．当时，线段AP的长度最小值为
D．当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．记为等差数列的前项和，若，，则.
13．已知椭圆的左右焦点分别为为，过的直线与交于两点.若，，则椭圆的离心率为.
14．已知是定义在上的单调递减函数，且对，均有，若不等式在恒成立，则实数的最大值是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．2025宜昌马拉松比赛于2025年4月13日在宜昌城区举行，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：
满意度
性别
合计
女性
男性
比较满意
r
s
50
非常满意
t
40
70
合计
60
l
120
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？
(2)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，.
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且.
(1)求的标准方程；
(2)过的直线交双曲线于两点（两点均位于轴下方，在左，在右），线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求.
17．如图所示，在中，，AD平分，且.
??
(1)若，求的长度；
(2)求的取值范围；
(3)若，求为何值时，最短.
18．如图，已知四边形为直角梯形，，，，以所在直线为轴将四边形旋转到四边形，连接，且四点共面.
(1)证明：多面体是三棱台；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
19．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数.
(1)当时
（i）判断的奇偶性，并求在的极值；
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
(2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题设，则.
故选C.
2．【答案】B
【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.
故选B.
3．【答案】A
【详解】如图所示，
??
△为边长为1的正三角形，则与夹角即为.
故选A.
4．【答案】D
【详解】当时，函数单调递增，所以，
要使得函数的值域为，
则当时，，解得，所以实数的取值范围是
故选D.
5．【答案】B
【详解】按照跳高项目安排人数，可以分以下两类：
第一类，跳高项目安排1人，共种安排方法，
第二类，跳高项目安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
故选B.
6．【答案】C
【详解】令，，
则恒成立，
故在上单调递增，而，故当时，；
当时，，故A、B均错误；
由于与在均为单调递增函数，且