广东省佛山市南海区桂城中学2023?2024学年高三下学期5月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，，则（????）
A． B． C． D．
2．欧拉公式是瑞士数学家欧拉发现的，若复数的共辄复数为，则（????）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
4．圆的以为中点的弦所在直线方程为（????）
A． B． C． D．
5．在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（????）
A．77 B．76 C．75 D．74
6．上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为，，则该球的表面积为（????）
A．32 B．36 C．40 D．42
7．记函数的最小正周期为，若，且为的一条对称轴，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（????）
A．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变
B．
C．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数
D．
10．已知点为双曲线C：上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，，则（????）
A． B． C． D．为定值
11．意大利画家列奥纳多·达?芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达?芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（????）
A．
B．是偶函数
C．
D．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数
三、填空题（本大题共3小题）
12．随机变量，，随机变量，则，.
13．要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是．
14．函数的定义域为，对任意，恒有.若，则，.
四、解答题（本大题共5小题）
15．某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人．
(1)求直方图中x，y的值；
(2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；
②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望．
16．已知函数，.
（I）当a=2时，求曲线y=在点(0，f(0))处的切线方程；
（II）求函数在区间[0,e-1]上的最小值.
17．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且．
(1)证明：；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值．
18．如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
19．二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系，且，为给定的常数（有时也可以是，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：，若，是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式，其中和是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出.
(1)若数列满足：，，，求数列的通项公式；
(2)若，试求的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由；
(3)若定义域和值域均为的函数满足：，求的解析式
参考答案
1．【答案】C
【解析】先求出集合A，再根据交集的定义求解即可.
【详解】集合，集合，，
.
故选：．
2．【答案】D
【