85.解析几何新概念多选压轴中的八种命题形式
★1.卡西尼卵形线
定义：到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.
设两定点为，且，动点满足（且为定值），取直线作为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.设，则
，整理得：，解得
.
于是曲线的方程可化为.
进一步，对于常数
当时，图像变为两个点，
当时，图像分为左右两支封闭曲线，随着的减小而分别向点收缩
当时，图像呈8字形交叉，称为双纽线
当时，图像为中部凹陷的光滑曲线
当时，图像中部接近水平
当时，图像为光滑卵形封闭曲线
例1．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中错误的是（????）
A．曲线过坐标原点B．曲线关于坐标原点对称
C．曲线关于坐标轴对称D．若点在曲线上，则的面积不大于
解析：由题意设动点坐标为，则，
即，
即曲线的方程为，
若曲线过坐标原点，将点代入曲线的方程中可得与已知矛盾，
故曲线不过坐标原点，故A错误；把方程中的被代换，被代换，方程不变，
故曲线关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称，
故曲线关于坐标轴对称，故C正确；若点在曲线上，则，
，当且仅当时等号成立，
故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.
例2．（2023届广州一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（????）
A．点的横坐标的取值范围是B．的取值范围是
C．面积的最大值为D．的取值范围是
解析：设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；
对于B，，则，
显然，因此，B正确；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.
故选：BC
★2.双扭线
例3．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线．曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的是（????）．
①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足的P有且只有一个
③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4
④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析：根据双纽线的定义可得，，当时，曲线C：，即，整理，得，①：用替换方程中的，原方程不变，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确；
②：若曲线C上点P满足，则点P在y轴上，即，代入曲线方程，解得，所以这样的点仅有一个，故②正确；
③：由，得，所以曲线C上任意一点到原点的距离，即都不超过4，故③正确；
④：直线与曲线C一定有公共点(0,0)，若直线与曲线C只有一个交点，
将代入方程中，得，
整理，得，方程无解，则，解得或，故④错误.
故选：A.
例4．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（????）
A．曲线的图象关于原点对称
B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
解析：把代入得，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；令解得，或，即曲线经过，
结合图象，，令，得，令，得，
因此结合图象曲线只能经过3个整点，，故B错误；
可得，所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故C正确；直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，所以，整理得无解，即，解得，故D正确.故选：ACD.
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