78.三大主流教材与椭圆十大定义
关于椭圆与双曲线的定义，在人教版，苏教版，北师大版新教材中均有涉及，而且不光是第一定义，焦点与准线型定义，斜率型定义均作为例题和习题出现，而且教材也鲜明地指出了这三个定义之间的关系.翻看近年全国卷的题目，我们发现很多选填题都是会涉及到这三个定义（解答题亦有考察），本节，我将从椭圆的第一定义出发，逐次推出二，三定义，并通过例题分析其进一步的应用，同时再给出其他常见的定义
一．基本原理
★定义1.标准定义
椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集
，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么：
①
将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：
②
对②式继续平方，再整理可得：
③
由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④.
这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④.
★定义2.椭圆的第二定义
继续定位到②式，⑥.
⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率.
★定义3.椭圆第三定义（公众号：凌晨讲数学）
由④式，⑦，⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值.
实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点（不与重合）到点的斜率之积为一个定值.
证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满足：，即.
★定义4.
如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程．
解析：连接，如下图：由题意可知，，圆的半径，且，
由垂直平分线定理可知，，故
由椭圆定义可知，的轨迹为椭圆，设的轨迹方程为：()，
从而，即，又因为、，所以，又由可知，，
从而的轨迹方程为：.
★定义5.
已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.求动圆圆心的轨迹方程.
解析：设圆的半径的，则，
所以的轨迹是以的焦点的椭圆，则，，所以，，，故动圆圆心轨迹方程为
★定义6.丹德林双球的定义
如下图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.
图图
如图，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故.
同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则.即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.
★定义7.压缩变换
将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
解析：设所得曲线上任一点的坐标为，圆上的对应点的坐标为．
由题意可得．因为，所以，即．这就是所得曲线的方程，该曲线是一个椭圆．
定义8.矩形分割
1．（人教A版选择性必修一P116）如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上．
解析：由题得，，所以，所以直线的方程为，①，由题得，所以，所以直线的方程为，②，联立方程①②解之得所以直线的交点为，
代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上．
2．（苏教版选修第一册P87）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？
解析：设矩形的长，宽，以的中点为原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，则由于整个图形关于轴对称，我们只研究第一象限，设点是上自右到左的第个分点，点是上自上到下的第个分点，则，，
所以①，②，①，②式相乘且整理得③，因为点是直线与的交点，所以点满足方程③
故点在椭圆上．
定义9.达芬奇椭圆仪
（2015年湖北卷理科数学）（苏教版87页）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．求曲线C的轨迹方程；
解析：设点，依题意，，且，即，由于当点不动时，点N也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为.
定义10.圆周取点
（苏教版81页）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点，将纸片折起，使圆周过点（如图），然后将纸片展开，就得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）．这样继续折下去，得到若干