46.等差，等比数列的七大应用
一．基本原理
（一）等差数列及其应用
1.等差数列及其前n项和
（1）等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，即对于数列，若(与无关的数或字母)，，，则此数列是等差数列，为公差.
（2）等差数列的通项公式：或.
有几种方法可以计算公差：①；②；③.
（3）等差中项：数列、、成等差数列的充要条件是，其中叫做、的等差中项.即有、、成等差数列恒成立.
（4）等差数列前项和
（4.1）等差数列的前项和公式1：.
（4.2）等差数列的前项和公式2：.
3.证明为等差数列的方法：
（3.1）定义法：(为常数，)为等差数列；
用定义证明等差数列时，常采用的两个式子和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义.
（3.2）中项法：为等差数列；
（3.3）通项法：为的一次函数为等差数列；
（3.4）前项和法：或.
4.等差数列的性质
（4.1）在等差数列中，若，则().
注意：但通常由推不出，因为有常数列的存在.
（4.2）在等差数列中，、、、、…仍为等差数列，公差为.
（4.3）若为等差数列，则、、、…仍为等差数列，公差为.
（4.4）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值.
时为递减数列，且当时前项和有最大值.
（4.5）等差数列的首项是，公差为.若其前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件.
（4.6）公差为的等差数列的前项和为，则数列必是首项为，公差为的等差数列.
（4.7）若两个等差数列、相加组成一个新数列，则必为等差数列，公差为数列、的公差之和.
（4.8）若两个等差数列、的前项和分别为和，则.
5.对等差数列前项和的最值问题有三种方法：
（5.1）利用：①当，，前项和有最大值，可由且，求得的值；②当，，前项和有最小值，可由且，求得的值.
注意：求的最值时，当时取两个值.
（5.2）利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值.
（二）等比数列及其应用
1、等比数列及其前n项和：
（1.1）一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，，).
注：从第二项起与前一项之比为常数：成等比数列(，).
（1.2）等比数列的通项公式：()或()；
（1.3）等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式()，它的图像是分布在曲线()上的一些孤立的点.
当，时，等比数列是递增数列；????当，时，等比数列是递增数列；
当，时，等比数列是递减数列；当，时，等比数列是递减数列；
当时，等比数列是摆动数列；????????????当时，等比数列是常数列.
（1.4）当时，①或②；当时，.
证明：设等比数列、、、…，它的前项和是，
由得，
∴；∴当时，，当时，；
2.等比数列的判定与证明方法
（2.1）定义法：若(，)或(，，)，则是等比数列.
（2.2）等比中项法：若数列中，且()，则是等比数列.
（2.3）通项公式法：若数列通项公式可写成(，，)，则是等比数列.
（2.4）前n项和法
3.等比数列的性质
（3.1）等比中项：如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，那么称这个数为与的等比中项.即(、同号).
如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，则；
反之，若，则，即、、成等比数列，
∴、、成等比数列b().
等比中项的性质：①()；()；
（3.2）若，则.
注意：但通常由推不出，因为有非零常数列的存在.
（3.3）数列首项是，公比为，数列首项为，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列，同理数列是首项为，公比为的等比数列.
（3.4）在公比为的等比数列中，数列、、、…仍是等比数列.
（3.5）公比为；数列、、、…仍是等比数列(此时).
二．典例分析
★应用1.考察等差数列的基本量
例1．记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
解析：由题知，，解得，∴，故选A．
例2．记为等差数列的前项和．若，则（????）
A．25 B．22 C．20 D．15
解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,又，解得：，
所以．故选：C.
方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.
★应用2.考察等差数列的性质
例3．已知为等差数列，为的前项和．若，则当取最大值时，的值为（????）
A． B．4 C． D．
解析：因为，所以，又，所以，所以，则.故选:C.
例4．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（????）
A． B． C． D．
解析：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.故选：B
例5．已知等差数列（）的前n项和为，公差，，