18.突破函数零点压轴的常见微专题
1.浅谈函数“取点”问题中的基本方法
一．基本原理
找点原理：对于函数，倘若我们要找的点，且发现当
时，函数均趋向正无穷，此时我们可以考虑将函数的结构加以变形：
不妨假设变形为，从而，，即将一部分放缩控制为有限极限，从而欲解只需解即可.为此，我们需要特别留意下面这些函数的极值点：
2.三角找点原理.有关三角函数的零点问题处理主要手段有：
分段处理；分段的依据主要是由三角函数的取值象限来进行，等.
讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶导数的应用，直到能清楚判断所讨论区间的单调性；
关注有关三角的不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程！
；；.
典例分析
例1.（2022全国乙卷）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.
解析：（1）,所以在点处的切线方程为;
（2）由于，即
当时，当时，成立，所以在单调递增，且，故时，无零点，舍去.
当时,当时,，由题意可知，必有，即.
（i）当时,，
令，当时，，故，故，单调递增，在无零点，舍去；
（ii）当时，，令，
当时，，单调递增，且，，故，使得，当时，，，单调递减；时，，，单调递增；又，这时，我们只需说明存在使得即可.
下面来考虑找点过程：由于，而，故，那么，故只需满足：
即可，取，则，于是此时在上有一个零点；
当时，，由单调递增，且，，故，使得，当时，，单调递减，时，，单调递增；又，，
故，使得，当时，，，单调递增，时，，，单调递减；又，这时，我们只需说明存在，使得即可.
下面来考虑找点过程：由于，而，故，那么，故只需满足：
即可，取，则，于是此时在上有一个零点；此时在上有一个零点；综上，
对于函数，倘若我们要找的点，且发现当
时，函数均趋向正无穷，此时我们可以考虑将函数的结构加以变形：
不妨假设变形为，从而，，即将一部分放缩控制为有限极限，从而欲解只需解即可.
2.零点同构
函数同构问题是当下的一个热门问题，2022，2020,的导数问题就可以从同构角度构造恒成立.同构问题常见于指对混合函数的恒成立或零点问题中，重在观察和变形，所以技巧性较强.当然这类指对混合函数的恒成立也可用其他方法完成，在这里学习同构，更多的是提升观察与思维能力.
一．基本原理
1.解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤.
2.多变量同构型零点的基本规律
2.1.，图象如下，左端为，右端为.
性质：
（1）；
（2）同构特性：（公众号：凌晨讲数学）
（3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有
（4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有：（公众号：凌晨讲数学）
2.2.，图象如下：，左端为，右端为.
性质：
（1）；（公众号：凌晨讲数学）
（2）同构特性：
（3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有
（4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有：（公众号：凌晨讲数学）
例2.（2023届成都）（公众号：凌点数学）
已知函数，其中，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围．
解析：（1）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）函数恰有两个零点，等价于方程有两个不等的实数解．∵，，，
令，则．令，则．∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，
∴方程有唯一解．∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．等价于方程有两个不相等的实数解．构造函数，则．∵，∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，；，．∴只需要，即．构造函数，则．∴当时，；当时，．
函数在上单调递减，在上单调递增．∵，当时，恒成立．∴a的取值范围为．
例3.（2022全国新高考1卷）
已知函数和有相同的最小值.
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
解析：（2）由（1）可得，的最小值在处取到，的最小值在处取到，且最小值均为1.于是,在上增，在上减，则存在，使得
.这样的话，令,且直线与两条曲线和共有三个不同的交点.（公众号：凌晨讲数学）
另一方面，注意到，考虑函数，则.
设直线与两条曲线和从左到右的三个交点横坐标为.且有.由上述讨论可知：，故①，同理，由②