课时作业(十七)
1．函数f(x)＝eq\f(x3,3)＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是 ()
A．－eq\f(17,3) B．－eq\f(10,3)
C．－4 D．－eq\f(64,3)
答案A
解析f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]只有x＝1.
比较f(0)＝－4，f(1)＝－eq\f(17,3)，f(2)＝－eq\f(10,3).
可知最小值为－eq\f(17,3).
2.
已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则 () ()
A．f(x)在x＝1处取得微小值
B．f(x)在x＝1处取得极大值
C．f(x)在R上的增函数
D．f(x)在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数
答案C
解析由图像易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数．
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是 ()
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
答案A
解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2,0)上增，(0,2)上减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.
∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值是－37，选A.
4．当函数y＝x·2x取微小值时，x＝ ()
A.eq\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)
C．－ln2 D．ln2
答案B
解析由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.
令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.
∵2x＞0，∴x＝－eq\f(1,ln2).
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有微小值，则 ()
A．0＜b＜1 B．b＜1
C．b＞0 D．b＜eq\f(1,2)
答案A
解析f(x)在(0,1)内有微小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.
∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.
综上，b的范围为0＜b＜1.
6．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x3－x2－eq\f(7,2)x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为 ()
A．f(－a2)≤f(－1)
B．f(－a2)f(－1)
C．f(－a2)≥f(－1)
D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
答案A
解析由题意可得f′(x)＝eq\f(3,2)x2－2x－eq\f(7,2).
由f′(x)＝eq\f(1,2)(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝eq\f(7,3).
当x－1时，f(x)为增函数；当－1xeq\f(7,3)时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又由于－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．
7．函数f(x)＝e－x·eq\r(x)，则 ()
A．仅有微小值eq\f(1,\r(2e)) B．仅有极大值eq\f(1,\r(2e))
C．有微小值0，极大值eq\f(1,\r(2e)) D．以上皆不正确
答案B
解析f′(x)＝－e－x·eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x))·e－x＝e－x(－eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x)))＝e－x·eq\f(1－2x,2\r(x)).
令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).
当xeq\f(1,2)时，f′(x)0；当xeq\f(1,2)时，f′(x)0.
∴x＝eq\f(1,2)时取极大值，f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,\r(e))·eq\r(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(2e)).
8．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.
答案－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)
解析y′＝eq\f(a,x)＋2bx＋1.
由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,\f(a,2)＋4b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3)，,b＝－\f(1,6).))
9．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是________．
答案m－eq\f(1,2)
解析由于函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m1，即m－e