65.空间向量应用中的存在性问题
存在性问题.存在性问题突破的关键就是表示出动点的坐标，一般利用定比分点的形式写出动点坐标，最后把欲求量表示成动点坐标的函数.
例1．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）证明：连接，因为底面为菱形，，
所以是正三角形，是的中点，，又，
平面，平面，又平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，
所以，，．设平面的法向量，则即令，得平面的一个法向量．
设与平面所成的角为，则
，
解得或，即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．
例2．如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．
解析：（1）∵，，∴，又O是中点∴
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面
（2）∵底面是菱形，∴，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则．
又，所以，∴，设平面的法向量是，∴，令，则，
假设线段上存在点F，且，
∴，∴，
∴，平方整理得：，∴或（舍）.
∴时，即存在点F是中点时，与平面所成角的正弦值是．
例3．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
（1）证明：平面；
（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解析：（1）证明：正方形中，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，且，又，，又，，，又，，又平面，平面；
（2）如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，设点，，，，
，设平面的法向量为，
，令，显然，平面的法向量为，，
即，即即，解得或（舍），所以存在一点，且.
习题1．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
??
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
解析：（1）过点作于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，
又平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面．
??
（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，即取，，，所以为平面的一个法向量，因为在线段上（不含端点），所以可设，，所以，
设平面的一个法向量为，即，
取，，，所以为平面的一个法向量，
，又，由已知可得
解得或（舍去），所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
??
习题2．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.
??
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解析：（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，，所以是正三角形，四边形为菱形，
可得，，而平面平面，平面平面，
平面，，平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，
，设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，，
，所以二面角的余弦值为.
（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.设，因为，，所以，设与平面所成角为，则，即，，解得，所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.